解説

方針・初手

まず接線の式を求める。すると、その $y$ 切片が非常に簡単な形になるので、（3） はすぐに処理できる。

また、（4） では三角形 $PQR$ を辺 $PR$ のまわりに回転させるので、$Q$ から直線 $PR$ に下ろした垂線を用いれば、回転体の体積を円すいの体積の和として表せる。最後の極値判定は $u=\log t$ とおくと整理しやすい。

解法1

**(1)**

$$ f(x)=-x\log x \qquad (x>0)

$$

より、

$$ f'(x)=-(\log x+1)

$$

である。

したがって、

$$ f'(x)=0 \iff \log x=-1 \iff x=\frac{1}{e}

$$

となる。

さらに、

$$ f''(x)=-\frac{1}{x}<0 \qquad (x>0)

$$

であるから、$x=\dfrac{1}{e}$ で極大となる。

そのときの値は

$$ f\left(\frac{1}{e}\right) =-\frac{1}{e}\log\left(\frac{1}{e}\right) =\frac{1}{e}

$$

である。

よって、$f(x)$ は $x=\dfrac{1}{e}$ のとき極大値 $\dfrac{1}{e}$ をとる。

**(2)**

点 $P$ の座標は

$$ P\bigl(t,f(t)\bigr)=\bigl(t,-t\log t\bigr)

$$

である。

この点における接線 $\ell$ の傾きは

$$ f'(t)=-(\log t+1)

$$

であるから、接線の方程式は

$$ y+t\log t=-(\log t+1)(x-t)

$$

したがって整理して

$$ \ell:\ y=-(\log t+1)x+t

$$

となる。

**(3)**

$\ell$ と $y$ 軸との交点を $Q$ とすると、上で求めた接線の式より

$$ Q=(0,t)

$$

である。

また、

$$ R=(0,-f(t))=(0,t\log t)

$$

である。

$Q$ と $R$ が一致する条件は、$y$ 座標が等しいことであるから

$$ t=t\log t

$$

である。ここで $t>0$ より両辺を $t$ で割ることができて、

$$ \log t=1

$$

したがって

$$ t=e

$$

である。よって

$$ \alpha=e

$$

となる。

**(4)**

$0<t<\alpha=e$ とする。このとき

$$ 1-\log t>0

$$

である。

点の座標は

$$ P=(t,-t\log t),\qquad Q=(0,t),\qquad R=(0,t\log t)

$$

である。

まず、$QR$ の長さは

$$ QR=t-t\log t=t(1-\log t)

$$

であり、$P$ から $y$ 軸までの距離は $t$ であるから、三角形 $PQR$ の面積 $S$ は

$$ S=\frac{1}{2},t\cdot t(1-\log t) =\frac{1}{2}t^2(1-\log t)

$$

となる。

次に、$PR$ の長さを求めると

$$ PR=\sqrt{(t-0)^2+(-t\log t-t\log t)^2}

$$

すなわち

$$ PR=\sqrt{t^2+4t^2(\log t)^2} =t\sqrt{1+4(\log t)^2}

$$

である。

ここで、$Q$ から直線 $PR$ に下ろした垂線の長さを $QH$ とすると、

$$ S=\frac{1}{2},PR\cdot QH

$$

より

$$ QH=\frac{2S}{PR}

$$

である。

三角形 $PQR$ を直線 $PR$ のまわりに回転すると、回転体は共通の底面をもつ2つの円すいの和になるから、その体積 $V(t)$ は

$$ V(t)=\frac{1}{3}\pi QH^2\cdot PR

$$

である。これに $QH=\dfrac{2S}{PR}$ を代入すると

$$ V(t)=\frac{4\pi S^2}{3PR}

$$

したがって、

$$ V(t) =\frac{4\pi}{3}\cdot \frac{\left(\frac{1}{2}t^2(1-\log t)\right)^2}{t\sqrt{1+4(\log t)^2}}

$$

すなわち

$$ V(t)=\frac{\pi}{3}\cdot \frac{t^3(1-\log t)^2}{\sqrt{1+4(\log t)^2}}

$$

となる。

ここで

$$ u=\log t \qquad (u<1)

$$

とおくと、$t=e^u$ なので

$$ V(t)=\frac{\pi}{3}\cdot \frac{e^{3u}(1-u)^2}{\sqrt{1+4u^2}}

$$

となる。そこで

$$ g(u)=\frac{e^{3u}(1-u)^2}{\sqrt{1+4u^2}}

$$

とおくと、$V(t)=\dfrac{\pi}{3}g(u)$ であるから、$V(t)$ の極値は $g(u)$ の極値を調べればよい。

$g(u)>0$ であるから、$\dfrac{g'(u)}{g(u)}$ を計算すると

$$ \frac{g'(u)}{g(u)} =3-\frac{2}{1-u}-\frac{4u}{1+4u^2}

$$

これを整理すると

$$ \begin{aligned} \frac{g'(u)}{g(u)} &= \frac{(6u-1)(2u^2-u+1)}{(u-1)(4u^2+1)} \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ 2u^2-u+1>0,\qquad 4u^2+1>0

$$

であり、また $u<1$ だから $u-1<0$ である。よって $\dfrac{g'(u)}{g(u)}$ の符号は $6u-1$ と逆符号になる。

したがって、

• $u<\dfrac{1}{6}$ のとき $g'(u)>0$
• $\dfrac{1}{6}<u<1$ のとき $g'(u)<0$

であるから、$u=\dfrac{1}{6}$ で極大となる。

よって

$$ \log t=\frac{1}{6}

$$

すなわち

$$ t=e^{1/6}

$$

のとき、$V(t)$ は極大値をとる。

その極大値は

$$ \begin{aligned} V\left(e^{1/6}\right) &= \frac{\pi}{3}\cdot \frac{e^{1/2}\left(1-\frac{1}{6}\right)^2}{\sqrt{1+4\left(\frac{1}{6}\right)^2}} \end{aligned} $$

であり、整理すると

$$ \begin{aligned} V\left(e^{1/6}\right) &= \frac{\pi}{3}\cdot \frac{e^{1/2}\cdot\frac{25}{36}}{\sqrt{\frac{10}{9}}} &= \frac{5\pi\sqrt{10e}}{72} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は、（2） の接線の式が

$$ y=-(\log t+1)x+t

$$

と非常に簡単にまとまることである。これにより、$y$ 切片がそのまま $t$ になり、（3） はすぐに解ける。

また （4） は、回転体をそのまま積分で処理するより、三角形を辺のまわりに回転させたときの図形を円すいの和として捉える方が自然である。体積公式を作った後は、$u=\log t$ とおいて指数関数と有理式の組に直すと、微分計算が見通しよくなる。

答え

**(1)**

$$ f'(x)=-(\log x+1)

$$

$f(x)$ は

$$ x=\frac{1}{e}

$$

のとき極大値

$$ \frac{1}{e}

$$

をとる。

**(2)**

接線 $\ell$ の方程式は

$$ y=-(\log t+1)x+t

$$

である。

**(3)**

$$ \alpha=e

$$

である。

**(4)**

$$ V(t)=\frac{\pi}{3}\cdot \frac{t^3(1-\log t)^2}{\sqrt{1+4(\log t)^2}}

$$

であり、

$$ t=e^{1/6}

$$

のとき極大値

$$ \frac{5\pi\sqrt{10e}}{72}

$$

をとる。