解説

方針・初手

2つの球の共通部分は、各球から見れば同じ高さの球冠2個分である。そこで、2球の中心を結ぶ直線を $x$ 軸にとり、断面積を $x$ で積分して体積を求める。

解法1

一方の球の中心を $(0,0,0)$、他方の球の中心を $(d,0,0)$ とする。すると2球は

$$ x^2+y^2+z^2\le r^2,\qquad (x-d)^2+y^2+z^2\le r^2

$$

で表される。

共通部分にある点 $(x,y,z)$ は両方の不等式を満たすから、2つ目の左辺から1つ目の左辺を引くと

$$ (x-d)^2-x^2\le 0

$$

すなわち

$$ -2dx+d^2\le 0

$$

となる。ここで $d>0$ より

$$ x\ge \frac d2

$$

である。したがって、共通部分は第1の球のうち $x\ge \frac d2$ の部分、すなわち球冠になっている。同様に第2の球側にも合同な球冠が1つあるので、共通部分の体積 $V$ はその2倍である。

第1の球において、$x$ を一定にした断面は半径 $\sqrt{r^2-x^2}$ の円であるから、その面積は

$$ \pi(r^2-x^2)

$$

である。よって球冠1個の体積は

$$ \int_{d/2}^{r}\pi(r^2-x^2),dx

$$

となる。したがって

$$ V=2\pi\int_{d/2}^{r}(r^2-x^2),dx

$$

である。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} V &=2\pi\left[r^2x-\frac{x^3}{3}\right]_{d/2}^{r} \\ &=2\pi\left(\frac{2r^3}{3}-\frac{r^2d}{2}+\frac{d^3}{24}\right) \\ &=\frac{4}{3}\pi r^3-\pi r^2d+\frac{\pi d^3}{12}. \end{aligned}

$$

さらに因数分解すると、

$$ V=\frac{\pi}{12}(4r+d)(2r-d)^2

$$

を得る。

解説

この問題の要点は、共通部分全体を直接扱うのではなく、「合同な球冠2個」に分けて考えることである。等しい半径の2球なので、中心を結ぶ線分の垂直二等分面 $x=\frac d2$ が対称面になり、そこから片側だけを積分すればよい。

答え

$$ V=\frac{\pi}{12}(4r+d)(2r-d)^2

$$

である。