解説

方針・初手

（1） は $C_{n+2}$ を部分積分し，$C_n$ と $C_{n+2}$ の関係式に直す。

（2） は $xy$ 平面への射影が第1象限の4分の1円であり，各 $x$ に対する高さが $z=(1-x^2)^2$ で与えられるので，$x$ で積分する。最後に $x=\sin\theta$ とおくと （1） の結果をそのまま使える。

解法1

**(1)**

$$ C_{n+2}=\int_0^{\pi/2}\cos^{n+2}x,dx =\int_0^{\pi/2}\cos^{n+1}x\cos x,dx

$$

と書き，部分積分を行う。

ここで

$$ u=\cos^{n+1}x,\qquad dv=\cos x,dx

$$

とおくと，

$$ du=-(n+1)\cos^n x\sin x,dx,\qquad v=\sin x

$$

であるから，

$$ \begin{aligned} C_{n+2} &=\left[\cos^{n+1}x\sin x\right]*0^{\pi/2} +(n+1)\int_0^{\pi/2}\cos^n x\sin^2 x,dx \\ &=(n+1)\int_0^{\pi/2}\cos^n x(1-\cos^2 x),dx \\ &=(n+1)\left(\int_0^{\pi/2}\cos^n x,dx-\int_0^{\pi/2}\cos^{n+2}x,dx\right) \\ &=(n+1)(C_n-C*{n+2}) \end{aligned}

$$

となる。よって，

$$ (n+2)C_{n+2}=(n+1)C_n

$$

すなわち，

$$ C_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}C_n

$$

が示された。

**(2)**

条件 $x^2+y^2\leqq 1,\ x\geqq 0,\ y\geqq 0$ より，$xy$ 平面への射影は第1象限の4分の1円である。したがって

$$ 0\leqq x\leqq 1,\qquad 0\leqq y\leqq \sqrt{1-x^2}

$$

である。

また，

$$ z+2x^2-x^4\leqq 1

$$

は

$$ z\leqq 1-2x^2+x^4=(1-x^2)^2

$$

と書ける。ここで $0\leqq x\leqq 1$ だから $(1-x^2)^2\geqq 0$ であり，$z\geqq 0$ と合わせて

$$ 0\leqq z\leqq (1-x^2)^2

$$

となる。

よって求める体積 $V$ は

$$ V=\int_0^1\int_0^{\sqrt{1-x^2}}\int_0^{(1-x^2)^2}dz,dy,dx

$$

である。内側から順に積分すると，

$$ \begin{aligned} V &=\int_0^1\int_0^{\sqrt{1-x^2}}(1-x^2)^2,dy,dx \\ &=\int_0^1(1-x^2)^2\sqrt{1-x^2},dx \\ &=\int_0^1(1-x^2)^{5/2},dx \end{aligned}

$$

ここで $x=\sin\theta\ (0\leqq \theta\leqq \pi/2)$ とおくと，

$$ dx=\cos\theta,d\theta,\qquad 1-x^2=\cos^2\theta

$$

より，

$$ V=\int_0^{\pi/2}\cos^6\theta,d\theta=C_6

$$

となる。

（1） の漸化式を用いて $C_6$ を求める。まず

$$ C_0=\int_0^{\pi/2}1,dx=\frac{\pi}{2}

$$

であり，

$$ C_2=\frac{1}{2}C_0=\frac{\pi}{4},\qquad C_4=\frac{3}{4}C_2=\frac{3\pi}{16},\qquad C_6=\frac{5}{6}C_4=\frac{5\pi}{32}

$$

となる。したがって，

$$ V=\frac{5\pi}{32}

$$

である。

解説

（1） は三角関数のべき積分に対する基本的な漸化式であり，部分積分で $C_n$ と $C_{n+2}$ を結びつけるのが定石である。

（2） では，先に $xy$ 平面上の領域を確定し，その上で各点における高さ $z=(1-x^2)^2$ を掛ける，という立体の体積の基本形に持ち込むのが重要である。積分の最後が $\int_0^{\pi/2}\cos^6\theta,d\theta$ となるため，（1） の結果がそのまま活用できる。

答え

**(1)**

$$ C_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}C_n

$$

**(2)**

求める体積は

$$ \frac{5\pi}{32}

$$