解説

方針・初手

媒介変数表示

$$ x=\sin t,\quad y=\sin 2t \qquad \left(0\le t\le \frac{\pi}{2}\right)

$$

から、まず $y$ を $x$ の式に直す。

このとき $0\le t\le \frac{\pi}{2}$ であるから $\cos t\ge 0$ が成り立ち、

$$ \cos t=\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{1-x^2}

$$

とおける。これにより曲線 $C$ を $x$ の関数として表せる。

面積は $x$ について積分し、回転体の体積は $y$ 軸まわりなので円筒殻法を用いるのが自然である。

解法1

まず

$$ y=\sin 2t=2\sin t\cos t

$$

である。

ここで $x=\sin t$ より

$$ \cos t=\sqrt{1-x^2}

$$

だから、

$$ y=2x\sqrt{1-x^2}

$$

を得る。また、$0\le t\le \dfrac{\pi}{2}$ より

$$ 0\le x\le 1

$$

である。

したがって （1） の答えは

$$ y=2x\sqrt{1-x^2}\qquad (0\le x\le 1)

$$

である。

次に （2） を求める。

$0\le t\le \dfrac{\pi}{2}$ において $\sin 2t\ge 0$ であるから、図形 $D$ の面積 $S$ は

$$ S=\int_0^1 2x\sqrt{1-x^2},dx

$$

である。

ここで

$$ u=1-x^2

$$

とおくと

$$ du=-2x,dx

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} S &=\int_0^1 2x\sqrt{1-x^2},dx \\ &=-\int_1^0 \sqrt{u},du \\ &=\int_0^1 u^{1/2},du \\ &=\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_0^1 \\ &=\frac{2}{3} \end{aligned}

$$

となる。

よって （2） の答えは

$$ \frac{2}{3}

$$

である。

最後に （3） を求める。

図形 $D$ を $y$ 軸のまわりに回転させるので、半径 $x$、高さ $y$ の円筒殻を考えると、体積 $V$ は

$$ V=2\pi \int_0^1 x\,y\,dx

$$

である。

ここに

$$ y=2x\sqrt{1-x^2}

$$

を代入すると、

$$ V=2\pi\int_0^1 x\cdot 2x\sqrt{1-x^2},dx =4\pi\int_0^1 x^2\sqrt{1-x^2},dx

$$

となる。

この積分で

$$ x=\sin \theta \qquad \left(0\le \theta\le \frac{\pi}{2}\right)

$$

とおくと、

$$ dx=\cos\theta,d\theta,\quad \sqrt{1-x^2}=\cos\theta

$$

だから

$$ \begin{aligned} \int_0^1 x^2\sqrt{1-x^2},dx &=\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^2\theta,d\theta \\ &=\frac{1}{4}\int_0^{\pi/2}\sin^2 2\theta,d\theta \\ &=\frac{1}{8}\int_0^\pi \sin^2 u,du \qquad (u=2\theta) \\ &=\frac{1}{8}\cdot \frac{\pi}{2} \\ &=\frac{\pi}{16} \end{aligned}

$$

を得る。

したがって

$$ V=4\pi\cdot \frac{\pi}{16}=\frac{\pi^2}{4}

$$

である。

よって （3） の答えは

$$ \frac{\pi^2}{4}

$$

である。

解説

この問題の要点は、媒介変数表示をまず通常の関数表示に直すことである。$t$ の範囲が $0\le t\le \dfrac{\pi}{2}$ なので $\cos t\ge 0$ が保証され、$\cos t=\sqrt{1-x^2}$ とできる点が重要である。

面積はそのまま $x$ 積分で処理できる。回転体の体積は、$y$ 軸まわりなので円筒殻法

$$ V=2\pi\int x\,y\,dx

$$

を使うと素直である。ここで無理に断面法を使うと、$x$ を $y$ の式で表す際に扱いが煩雑になる。

答え

**(1)**

$$ y=2x\sqrt{1-x^2}\qquad (0\le x\le 1)

$$

**(2)**

$$ \frac{2}{3}

$$

**(3)**

$$ \frac{\pi^2}{4}

$$