解説

方針・初手

まず

$$ f(x)=e^{-x}\cos x,\qquad g(x)=e^{-x}\sin x $$

の微分関係を調べる。

$$ f'(x)=-f(x)-g(x),\qquad g'(x)=f(x)-g(x) $$

より，$f(x)\pm g(x)$ の導関数が簡単になるので，最初の積分公式がすぐ求まる。

また $f(x)^2,\ g(x)^2$ については

$$ f(x)^2=e^{-2x}\cos^2x,\qquad g(x)^2=e^{-2x}\sin^2x $$

と変形して倍角公式を用いればよい。

回転体では，区間ごとの符号と $|f|,\ |g|$ の大小関係を正確に見ることが重要である。

解法1

1. ア，イ，ウ，エを求める

まず

$$ \frac{d}{dx}\{f(x)-g(x)\}=f'(x)-g'(x)=(-f-g)-(f-g)=-2f(x) $$

より，

$$ \int f(x)\,dx=-\frac12\{f(x)-g(x)\}+C_1 $$

である。したがって

$$ \boxed{\text{ア}=-\frac12} $$

である。

同様に

$$ \frac{d}{dx}\{f(x)+g(x)\}=f'(x)+g'(x)=(-f-g)+(f-g)=-2g(x) $$

より，

$$ \int g(x)\,dx=-\frac12\{f(x)+g(x)\}+C_2 $$

となる。

次に $ax$ の場合を考えると，

$$ \frac{d}{dx}\{f(ax)-g(ax)\} =a\{f'(ax)-g'(ax)\} =-2a\,f(ax) $$

であるから，

$$ \int f(ax)\,dx=-\frac{1}{2a}\{f(ax)-g(ax)\}+C_3 $$

である。同様に

$$ \int g(ax)\,dx=-\frac{1}{2a}\{f(ax)+g(ax)\}+C_4 $$

である。よって

$$ \boxed{\text{イ}=-\frac{1}{2a}} $$

となる。

次に $f(x)^2$ を求める。

$$ f(x)^2=e^{-2x}\cos^2x=\frac12e^{-2x}(1+\cos2x) $$

より，

$$ \int f(x)^2\,dx =\frac12\int e^{-2x}\,dx+\frac12\int e^{-2x}\cos2x\,dx $$

である。ここで

$$ f(2x)=e^{-2x}\cos2x,\qquad g(2x)=e^{-2x}\sin2x $$

であり，

$$ \frac{d}{dx}\{f(2x)-g(2x)\}=-4f(2x)=-4e^{-2x}\cos2x $$

より

$$ \int e^{-2x}\cos2x\,dx=-\frac14\{f(2x)-g(2x)\} $$

となる。したがって

$$ \int f(x)^2\,dx =-\frac18\{f(2x)-g(2x)\}-\frac14e^{-2x}+C_5 $$

である。よって

$$ \boxed{\text{ウ}=-\frac18},\qquad \boxed{\text{エ}=\frac14} $$

となる。

同様に

$$ g(x)^2=e^{-2x}\sin^2x=\frac12e^{-2x}(1-\cos2x) $$

より

$$ \int g(x)^2\,dx =-\frac18\{-f(2x)+g(2x)\}-\frac14e^{-2x}+C_6 $$

となる。

2. 領域 $D$ の面積を求める

区間 $\dfrac{\pi}{2}\le x\le \pi$ では

$$ \cos x\le 0,\qquad \sin x\ge 0 $$

であるから，

$$ f(x)\le 0\le g(x) $$

となる。したがって $D$ の面積は

$$ \int_{\pi/2}^{\pi}\{g(x)-f(x)\}\,dx $$

である。

ここで

$$ \frac{d}{dx}\{-g(x)\}=-g'(x)=-(f-g)=g-f $$

より，

$$ \int_{\pi/2}^{\pi}\{g(x)-f(x)\}\,dx =\bigl[-g(x)\bigr]_{\pi/2}^{\pi} =-g(\pi)+g\left(\frac{\pi}{2}\right) $$

となる。

$$ g(\pi)=e^{-\pi}\sin\pi=0,\qquad g\left(\frac{\pi}{2}\right)=e^{-\pi/2} $$

なので，

$$ \boxed{\text{オ}=e^{-\pi/2}} $$

である。

3. カを求める

$|f(x)|=|g(x)|$ は

$$ e^{-x}|\cos x|=e^{-x}|\sin x| $$

すなわち

$$ |\cos x|=|\sin x| $$

に等しい。

区間 $\dfrac{\pi}{2}\le x\le \pi$ では $\cos x\le 0,\ \sin x\ge 0$ なので，

$$ -\cos x=\sin x $$

すなわち

$$ \tan x=-1 $$

となる。よって

$$ \boxed{\text{カ}=\frac{3\pi}{4}} $$

である。

4. キ，ク，ケを求める

領域 $D$ を $x$ 軸のまわりに回転すると，断面は軸を含むので円環ではなく円板になる。

**(i)**

$\dfrac{\pi}{2}\le x\le \dfrac{3\pi}{4}$ では $g(x)\ge |f(x)|$ であるから，断面の半径は $g(x)$ である。したがって

$$ \text{キ} =\pi\int_{\pi/2}^{3\pi/4}g(x)^2\,dx $$

である。上で求めた原始関数を用いると，

$$ \int_{\pi/2}^{3\pi/4}g(x)^2\,dx =\left[ -\frac18\{-f(2x)+g(2x)\}-\frac14e^{-2x} \right]_{\pi/2}^{3\pi/4} $$

となる。ここで

$$ f(\pi)=-e^{-\pi},\quad g(\pi)=0,\quad f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0,\quad g\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-e^{-3\pi/2} $$

より

$$ \int_{\pi/2}^{3\pi/4}g(x)^2\,dx =\frac{3e^{-\pi}-e^{-3\pi/2}}{8} $$

となる。したがって

$$ \boxed{\text{キ}=\frac{\pi}{8}\left(3e^{-\pi}-e^{-3\pi/2}\right)} $$

である。

**(ii)**

$\dfrac{3\pi}{4}\le x\le \pi$ では $|f(x)|\ge g(x)$ であるから，断面の半径は $|f(x)|$ であり，その二乗は $f(x)^2$ である。よって

$$ \text{ク} =\pi\int_{3\pi/4}^{\pi}f(x)^2\,dx $$

となる。上で求めた原始関数を用いると，

$$ \int_{3\pi/4}^{\pi}f(x)^2\,dx =\left[ -\frac18\{f(2x)-g(2x)\}-\frac14e^{-2x} \right]_{3\pi/4}^{\pi} $$

である。これを計算すると，

$$ \int_{3\pi/4}^{\pi}f(x)^2\,dx =\frac{3}{8}\left(e^{-3\pi/2}-e^{-2\pi}\right) $$

となる。したがって

$$ \boxed{\text{ク}=\frac{3\pi}{8}\left(e^{-3\pi/2}-e^{-2\pi}\right)} $$

である。

よって

$$ V=\text{キ}+\text{ク} =\frac{\pi}{8}\left(3e^{-\pi}+2e^{-3\pi/2}-3e^{-2\pi}\right) $$

となるから，

$$ \boxed{\text{ケ}=\frac{\pi}{8}\left(3e^{-\pi}+2e^{-3\pi/2}-3e^{-2\pi}\right)} $$

である。

5. コを求める

領域 $E$ は

$$ \frac{3\pi}{2}\le x\le 2\pi,\qquad g(x)\le y\le f(x) $$

で与えられる。

ここで

$$ f(x+\pi)=e^{-(x+\pi)}\cos(x+\pi)=-e^{-\pi}f(x), $$

$$ g(x+\pi)=e^{-(x+\pi)}\sin(x+\pi)=-e^{-\pi}g(x) $$

が成り立つ。したがって，$D$ を右へ $\pi$ だけ平行移動すると，$y$ 方向には $-e^{-\pi}$ 倍された領域になり，ちょうど $E$ に移る。

よって回転体の各断面積は $e^{-2\pi}$ 倍になり，全体の体積も $e^{-2\pi}$ 倍になる。したがって，$E$ を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積は

$$ e^{-2\pi}V $$

である。ゆえに

$$ \boxed{\text{コ}=e^{-2\pi}} $$

となる。

解説

この問題の核心は，$f,\ g$ をそのまま積分しようとせず，まず

$$ f'=-f-g,\qquad g'=f-g $$

を見抜くことである。これにより $f\pm g$ の導関数が単純になり，最初の空欄はすぐ埋まる。

また，回転体では「上下のグラフをそのまま外半径・内半径にする」と誤りやすい。今回の領域は $x$ 軸をまたぐため，断面は円環ではなく円板であり，半径は $|f|,\ |g|$ の大きい方になる。その境目が $|f|=|g|$ の解 $x=\dfrac{3\pi}{4}$ である。

最後の $E$ は，$D$ を $\pi$ だけ平行移動し，さらに $y$ 方向に $-e^{-\pi}$ 倍したものと見れば，体積比は即座に $e^{-2\pi}$ と分かる。

答え

**ア** $= -\dfrac12$

**イ** $= -\dfrac{1}{2a}$

**ウ** $= -\dfrac18$

**エ** $= \dfrac14$

**オ** $= e^{-\pi/2}$

**カ** $= \dfrac{3\pi}{4}$

**キ** $= \dfrac{\pi}{8}\left(3e^{-\pi}-e^{-3\pi/2}\right)$

**ク** $= \dfrac{3\pi}{8}\left(e^{-3\pi/2}-e^{-2\pi}\right)$

**ケ** $= \dfrac{\pi}{8}\left(3e^{-\pi}+2e^{-3\pi/2}-3e^{-2\pi}\right)$

**コ** $= e^{-2\pi}$