解説

方針・初手

$A,B,C$ はそれぞれ座標軸に平行な半径 $1$、高さ $2$ の円柱であり、いずれも立方体

$$ [-1,1]^3

$$

の中に入っている。したがって、求める体積はこの立方体の体積 $8$ から、$A\cup B\cup C$ の外側の部分の体積を引けばよい。

立方体内で $A$ の外にある条件は $y^2+z^2>1$、$B$ の外にある条件は $x^2+z^2>1$、$C$ の外にある条件は $x^2+y^2>1$ である。よって補集合は

$$ D={(x,y,z)\in[-1,1]^3 \mid x^2+y^2>1,\ x^2+z^2>1,\ y^2+z^2>1}

$$

である。

この条件は符号の変化と座標の入れ替えに対して対称なので、まず第1象限のうち

$$ 0\le z\le y\le x\le 1

$$

を考え、その体積を最後に $48=8\times 6$ 倍すればよい。

解法1

第1象限でさらに $x\ge y\ge z$ とすると、

$$ x^2+y^2 \ge x^2+z^2 \ge y^2+z^2

$$

である。したがって、この領域で

$$ x^2+y^2>1,\ x^2+z^2>1,\ y^2+z^2>1

$$

が同時に成り立つことは、最も小さい $y^2+z^2$ が $1$ を超えること、すなわち

$$ y^2+z^2>1

$$

と同値である。

よって、$0\le z\le y\le x\le 1$ における $D$ の体積を $V_0$ とすると、

$$ V_0=\iiint_{0\le z\le y\le x\le 1,\ y^2+z^2>1} dx,dy,dz

$$

である。

ここで $z$ の値によって場合分けする。

**(i)**

$0\le z\le \dfrac{1}{\sqrt2}$ のとき

このとき $\sqrt{1-z^2}\ge z$ であるから、

$$ y^2+z^2>1 \iff y>\sqrt{1-z^2}

$$

より

$$ \sqrt{1-z^2}<y\le 1,\qquad y\le x\le 1

$$

となる。

**(ii)**

$\dfrac{1}{\sqrt2}\le z\le 1$ のとき

このとき $z^2\ge \dfrac12$ であり、さらに $y\ge z$ だから

$$ y^2+z^2\ge 2z^2\ge 1

$$

となる。したがってこの範囲では条件 $y^2+z^2>1$ は、$y\ge z$ なら自動的に満たされるので、

$$ z\le y\le 1,\qquad y\le x\le 1

$$

となる。

以上より、

$$ \begin{aligned} V_0 &= \int_0^{1/\sqrt2}\int_{\sqrt{1-z^2}}^1\int_y^1 dx,dy,dz + \int_{1/\sqrt2}^1\int_z^1\int_y^1 dx,dy,dz \end{aligned} $$

である。まず $x$ について積分すると、

$$ \begin{aligned} V_0 &= \int_0^{1/\sqrt2}\int_{\sqrt{1-z^2}}^1 (1-y),dy,dz + \int_{1/\sqrt2}^1\int_z^1 (1-y),dy,dz \end{aligned} $$

となる。

第1項は

$$ \begin{aligned} \int_{\sqrt{1-z^2}}^1 (1-y),dy &= \frac12\left(1-\sqrt{1-z^2}\right)^2 \end{aligned} $$

だから、

$$ \begin{aligned} \int_0^{1/\sqrt2}\int_{\sqrt{1-z^2}}^1 (1-y),dy,dz &= \frac12\int_0^{1/\sqrt2}\left(1-\sqrt{1-z^2}\right)^2dz \end{aligned} $$

である。これを展開すると

$$ \frac12\int_0^{1/\sqrt2}\left(2-z^2-2\sqrt{1-z^2}\right)dz

$$

となるので、

$$ \begin{aligned} \int_0^{1/\sqrt2}\sqrt{1-z^2},dz &= \frac14+\frac{\pi}{8} \end{aligned} $$

を用いれば、

$$ \begin{aligned} \int_0^{1/\sqrt2}\int_{\sqrt{1-z^2}}^1 (1-y),dy,dz &= \frac{11\sqrt2}{24}-\frac14-\frac{\pi}{8} \end{aligned} $$

を得る。

また第2項は

$$ \int_z^1(1-y),dy=\frac{(1-z)^2}{2}

$$

より、

$$ \begin{aligned} \int_{1/\sqrt2}^1\int_z^1(1-y),dy,dz &= \frac12\int_{1/\sqrt2}^1(1-z)^2dz \\ \frac{5}{12}-\frac{7\sqrt2}{24} \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} V_0 &= \left(\frac{11\sqrt2}{24}-\frac14-\frac{\pi}{8}\right) + \left(\frac{5}{12}-\frac{7\sqrt2}{24}\right) &= \frac{1+\sqrt2}{6}-\frac{\pi}{8} \end{aligned} $$

となる。

よって補集合 $D$ 全体の体積は

$$ \begin{aligned} V(D)=48V_0 &= 48\left(\frac{1+\sqrt2}{6}-\frac{\pi}{8}\right) \\ 8+8\sqrt2-6\pi \end{aligned} $$

である。

したがって、求める体積は

$$ \begin{aligned} 8-V(D) &= 8-(8+8\sqrt2-6\pi) \\ 6\pi-8\sqrt2 \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題では、和集合を直接数えるよりも、立方体 $[-1,1]^3$ から補集合を引く方が整理しやすい。

補集合では「3本の円柱のどれにも入らない」ので、3つの不等式

$$ x^2+y^2>1,\quad x^2+z^2>1,\quad y^2+z^2>1

$$

を同時に満たす点を考えることになる。ここで対称性を使って $0\le z\le y\le x\le 1$ に絞ると、3条件は最小の $y^2+z^2>1$ だけを見ればよくなる。この簡約が本問の核心である。

答え

$$ A\cup B\cup C

$$

の体積は

$$ 6\pi-8\sqrt2

$$

である。