解説

方針・初手

まず $C$ と $D$ の交点を求め、どちらの曲線が上にあるかを調べる。

面積はその差を積分すればよい。

体積は $x$ 軸回転なので、$C,D$ が $x$ 軸の上下どちらにあるかで断面の形が変わる。したがって、$f(x),g(x)$ の符号が変わる点と、$|f(x)|=|g(x)|$ となる点で場合分けする。

解法1

（1） まず交点を求める。

$$ 3e^x-6=e^{2x}-4e^x

$$

$$ e^{2x}-7e^x+6=0

$$

ここで $t=e^x,(>0)$ とおくと、

$$ t^2-7t+6=0

$$

$$ (t-1)(t-6)=0

$$

より、

$$ t=1,6

$$

したがって交点の $x$ 座標は

$$ x=0,\ \log 6

$$

であり、対応する $y$ 座標は

$$ f(0)=g(0)=-3,\qquad f(\log 6)=g(\log 6)=12

$$

である。よって交点は

$$ (0,-3),\ (\log 6,12)

$$

である。

次に各曲線の概形を調べる。

$C:y=f(x)=3e^x-6$ については、

$$ f'(x)=3e^x>0

$$

より単調増加である。また、

$$ f(0)=-3,\qquad f(x)=0 \iff e^x=2 \iff x=\log 2

$$

である。

$D:y=g(x)=e^{2x}-4e^x$ については、

$$ g'(x)=2e^x(e^x-2)

$$

より、

• $x<\log 2$ で減少
• $x>\log 2$ で増加

となる。したがって $x=\log 2$ で極小値をとり、

$$ g(\log 2)=2^2-4\cdot 2=-4

$$

である。また、

$$ g(0)=1-4=-3

$$

であり、

$$ g(x)=0 \iff e^x(e^x-4)=0 \iff e^x=4 \iff x=\log 4

$$

だから、$x=\log 4$ で $x$ 軸と交わる。

さらに、上下関係は

$$ f(x)-g(x)=3e^x-6-(e^{2x}-4e^x) =-e^{2x}+7e^x-6

$$

$$ =(6-e^x)(e^x-1)

$$

より、

• $0<x<\log 6$ で $f(x)>g(x)$
• $x<0$ または $x>\log 6$ で $f(x)<g(x)$

となる。

以上より、概形は次の特徴をもつ。

• $C$ は $(0,-3)$ を通る単調増加曲線で、$x=\log 2$ で $x$ 軸と交わる。
• $D$ は $(0,-3)$ を通り、$x=\log 2$ で最小値 $-4$ をとった後に増加し、$x=\log 4$ で $x$ 軸と交わる。
• $C,D$ は $(0,-3)$ と $(\log 6,12)$ で交わり、その間では $C$ が上、$D$ が下にある。

したがって、囲まれた部分は $0\le x\le \log 6$ の間にできる。

（2） 面積 $S$ は

$$ S=\int_0^{\log 6}{f(x)-g(x)},dx

$$

である。したがって、

$$ S=\int_0^{\log 6}(3e^x-6-e^{2x}+4e^x),dx =\int_0^{\log 6}(7e^x-e^{2x}-6),dx

$$

$$ =\left[7e^x-\frac12 e^{2x}-6x\right]_0^{\log 6}

$$

$$ = \left(42-18-6\log 6\right)-\left(7-\frac12\right)

$$

$$ =\frac{35}{2}-6\log 6

$$

よって、

$$ S=\frac{35}{2}-6\log 6

$$

である。

（3） 囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに回転させる。

このとき断面の形が変わる点を調べる。

まず、

$$ f(x)=0 \iff x=\log 2,\qquad g(x)=0 \iff x=\log 4

$$

である。

また、$f(x)$ と $-g(x)$ が等しくなる点は

$$ f(x)=-g(x)

$$

$$ 3e^x-6=-(e^{2x}-4e^x)

$$

$$ e^{2x}-e^x-6=0

$$

$t=e^x$ とおくと

$$ t^2-t-6=0

$$

$$ (t-3)(t+2)=0

$$

より $t=3$、すなわち

$$ x=\log 3

$$

である。

したがって断面積は次のように場合分けされる。

• $0\le x\le \log 2$ では $g(x)\le f(x)\le 0$ なので、外半径 $-g(x)$、内半径 $-f(x)$ の円環
• $\log 2\le x\le \log 3$ では $f(x)\ge 0\ge g(x)$ かつ $-g(x)\ge f(x)$ なので、半径 $-g(x)$ の円
• $\log 3\le x\le \log 4$ では $f(x)\ge 0\ge g(x)$ かつ $f(x)\ge -g(x)$ なので、半径 $f(x)$ の円
• $\log 4\le x\le \log 6$ では $f(x)\ge g(x)\ge 0$ なので、外半径 $f(x)$、内半径 $g(x)$ の円環

よって体積 $V$ は

$$ \begin{aligned} V &=\pi\int_0^{\log 2}{g(x)^2-f(x)^2},dx +\pi\int_{\log 2}^{\log 3}g(x)^2,dx \\ &\quad +\pi\int_{\log 3}^{\log 4}f(x)^2,dx +\pi\int_{\log 4}^{\log 6}{f(x)^2-g(x)^2},dx \end{aligned}

$$

となる。

ここで $t=e^x,(>0)$ とおくと $dx=\dfrac{dt}{t}$ であり、

$$ f(x)=3t-6,\qquad g(x)=t^2-4t

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{V}{\pi} &=\int_1^2 \frac{(t^2-4t)^2-(3t-6)^2}{t},dt +\int_2^3 \frac{(t^2-4t)^2}{t},dt \\ &\quad +\int_3^4 \frac{(3t-6)^2}{t},dt +\int_4^6 \frac{(3t-6)^2-(t^2-4t)^2}{t},dt \end{aligned}

$$

すなわち、

$$ \begin{aligned} \frac{V}{\pi} &=\int_1^2 \left(t^3-8t^2+7t+36-\frac{36}{t}\right),dt +\int_2^3 \left(t^3-8t^2+16t\right),dt \\ &\quad +\int_3^4 \left(9t-36+\frac{36}{t}\right),dt +\int_4^6 \left(-t^3+8t^2-7t-36+\frac{36}{t}\right),dt \end{aligned}

$$

これを計算すると、

$$ \frac{V}{\pi} =\left(\frac{379}{12}-36\log 2\right) +\frac{67}{12} +\left(-\frac92+36\log\frac43\right) +\left(\frac{10}{3}+36\log\frac32\right)

$$

となり、対数項が打ち消し合って

$$ \frac{V}{\pi}=36

$$

を得る。したがって、

$$ V=36\pi

$$

である。

解説

この問題の要点は、面積は単に「上の曲線 $-$ 下の曲線」でよいのに対し、体積では $x$ 軸回転のため断面の半径を丁寧に判定しなければならない点にある。

特に （3） では、$f(x)$ と $g(x)$ の大小だけでなく、$x$ 軸に対してどちらが遠いかを見る必要がある。そのため $x=\log 2,\log 3,\log 4$ で場合分けするのが本質である。

答え

**(1)**

$C$ は単調増加曲線で $(0,-3)$ を通り、$x=\log 2$ で $x$ 軸と交わる。

$D$ は $(0,-3)$ を通り、$x=\log 2$ で最小値 $-4$ をとり、$x=\log 4$ で $x$ 軸と交わる。

両曲線は $(0,-3)$ $(\log 6,12)$ で交わり、$0<x<\log 6$ では $C$ が上、$D$ が下にある。

**(2)**

$$ S=\frac{35}{2}-6\log 6

$$

**(3)**

$$ V=36\pi

$$