解説

方針・初手

$S_2$ は $x$ 軸を軸とする半頂角 $\theta$ の円すい面である。求める立体は、半球 $x^2+y^2+z^2\le 1,\ x\ge 0$ のうち、円すいの内側にある部分である。

$x$ 軸に垂直な平面で切ると断面は円になるので、その半径を場合分けして積分する。まず、球面と円すい面の交わる位置を求める。

解法1

球面 $S_1$ は

$$ x^2+y^2+z^2=1 \qquad (x\ge 0)

$$

であり、円すい面 $S_2$ は

$$ y^2+z^2=x^2\tan^2\theta \qquad (x\ge 0)

$$

で表される。

両者の交線ではこれらが同時に成り立つから、

$$ x^2+x^2\tan^2\theta=1

$$

すなわち

$$ x^2\sec^2\theta=1

$$

より

$$ x=\cos\theta

$$

である。

したがって、$x$ 軸に垂直な断面の半径は次のようになる。

**(i)**

$0\le x\le \cos\theta$ のとき

この範囲では、円すいの断面半径 $x\tan\theta$ の方が球の断面半径 $\sqrt{1-x^2}$ より小さい。よって、求める断面は半径 $x\tan\theta$ の円であり、断面積は

$$ \pi x^2\tan^2\theta

$$

である。

**(ii)**

$\cos\theta\le x\le 1$ のとき

この範囲では、球の断面半径 $\sqrt{1-x^2}$ の方が小さい。よって、求める断面は半径 $\sqrt{1-x^2}$ の円であり、断面積は

$$ \pi(1-x^2)

$$

である。

以上より、体積 $V$ は

$$ V=\pi\int_0^{\cos\theta}x^2\tan^2\theta,dx+\pi\int_{\cos\theta}^1(1-x^2),dx

$$

となる。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} V &=\pi\tan^2\theta\cdot \frac{\cos^3\theta}{3} +\pi\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_{\cos\theta}^1 \\ &=\frac{\pi}{3}\sin^2\theta\cos\theta +\pi\left(\frac23-\cos\theta+\frac{\cos^3\theta}{3}\right) \end{aligned}

$$

である。

ここで

$$ \sin^2\theta\cos\theta =(1-\cos^2\theta)\cos\theta =\cos\theta-\cos^3\theta

$$

を用いると、

$$ \begin{aligned} V &=\frac{\pi}{3}(\cos\theta-\cos^3\theta) +\pi\left(\frac23-\cos\theta+\frac{\cos^3\theta}{3}\right) \\ &=\frac{2\pi}{3}(1-\cos\theta) \end{aligned}

$$

となる。

解法2

$x$ 軸を極軸とする球座標を用いる。$x$ 軸となす角を $\varphi$ とすると、円すい面 $S_2$ は

$$ \varphi=\theta

$$

であり、求める立体は

$$ 0\le r\le 1,\qquad 0\le \varphi\le \theta,\qquad 0\le \psi\le 2\pi

$$

で表される。

球座標での体積要素は

$$ r^2\sin\varphi,dr,d\varphi,d\psi

$$

であるから、

$$ V=\int_0^{2\pi}\int_0^\theta\int_0^1 r^2\sin\varphi,dr,d\varphi,d\psi

$$

となる。

よって

$$ \begin{aligned} V &=\left(\int_0^{2\pi}d\psi\right) \left(\int_0^\theta \sin\varphi,d\varphi\right) \left(\int_0^1 r^2,dr\right) \\ &=2\pi\cdot(1-\cos\theta)\cdot\frac13 \\ &=\frac{2\pi}{3}(1-\cos\theta) \end{aligned}

$$

となる。

解説

この立体は、半球の中を円すいで切り取った球扇形である。したがって、断面積を用いて積分してもよいし、球座標を使えばより直接的に求められる。

断面積で解く場合は、球と円すいのどちらが断面半径を決めるかが途中で入れ替わる。その境目が $x=\cos\theta$ になることを最初に押さえるのが重要である。

答え

求める体積は

$$ \frac{2\pi}{3}(1-\cos\theta)

$$

である。