解説

方針・初手

円 $C_1,\ C_2$ はともに $z$ 軸を中心とする円であるから，点 $P(x,y,z)$ から見た距離は，$r=\sqrt{x^2+y^2}$ を用いれば $rz$ 平面で考えられる。

まず （1） では，円までの最短距離・最長距離を，水平方向の距離と鉛直方向の距離に分けて表す。

つぎに （2） では，$rz$ 平面での条件を楕円の内部条件に直し，その図形を $z$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を円筒座標で求める。

解法1

**(1)**

円 $C_1$ は平面 $z=\sqrt{2}$ 上の半径 $\sqrt{2}$，中心 $(0,0,\sqrt{2})$ の円である。

点 $P(x,y,z)$ から平面 $z=\sqrt{2}$ への鉛直距離は $|z-\sqrt{2}|$ であり，その平面内で点 $(x,y)$ から円 $x^2+y^2=2$ までの最短距離は $|r-\sqrt{2}|$ である。したがって

$$ m=\sqrt{(z-\sqrt{2})^2+(r-\sqrt{2})^2}

$$

となる。

同様に，円 $C_2$ は平面 $z=-\sqrt{2}$ 上の半径 $\sqrt{2}$，中心 $(0,0,-\sqrt{2})$ の円である。

このとき，平面 $z=-\sqrt{2}$ 内で点 $(x,y)$ から円 $x^2+y^2=2$ 上の点までの最大距離は $r+\sqrt{2}$ であるから

$$ M=\sqrt{(z+\sqrt{2})^2+(r+\sqrt{2})^2}

$$

である。

**(2)**

$rz$ 平面で点

$$ A(-\sqrt{2},-\sqrt{2}),\qquad B(\sqrt{2},\sqrt{2})

$$

をとると，

$$ M=PA,\qquad m=PB

$$

とみなせる。

条件は

$$ |M-2\sqrt{6}|\ge m

$$

であるが，三角不等式より

$$ M-m\le AB

$$

であり，

$$ AB=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4

$$

だから

$$ M-m\le 4<2\sqrt{6}

$$

となる。よって

$$ M-2\sqrt{6}\ge m

$$

は不可能である。したがって条件は

$$ 2\sqrt{6}-M\ge m

$$

すなわち

$$ M+m\le 2\sqrt{6}

$$

に等しい。

これは，$rz$ 平面において焦点 $A,\ B$ をもち，長軸の長さが $2\sqrt{6}$ の楕円の内部を表す。

ここで

$$ u=\frac{r+z}{\sqrt{2}},\qquad v=\frac{r-z}{\sqrt{2}}

$$

とおくと，焦点は $(-2,0),\ (2,0)$ に移る。したがって楕円の方程式は

$$ \frac{u^2}{6}+\frac{v^2}{2}\le 1

$$

である。これを $r,\ z$ に戻すと

$$ \frac{(r+z)^2}{12}+\frac{(r-z)^2}{4}\le 1

$$

すなわち

$$ (r+z)^2+3(r-z)^2\le 12

$$

であり，整理して

$$ r^2-rz+z^2\le 3

$$

を得る。

よって立体 $H$ は，円筒座標で

$$ r^2-rz+z^2\le 3,\qquad r\ge 0

$$

で表される。

これを $z$ について解くと

$$ z=\frac{r\pm \sqrt{12-3r^2}}{2}

$$

であるから，固定した $r$ に対する高さは

$$ \sqrt{12-3r^2}

$$

となる。また $12-3r^2\ge 0$ より

$$ 0\le r\le 2

$$

である。

したがって体積 $V$ は円筒座標より

$$ V=2\pi\int_0^2 r\sqrt{12-3r^2},dr

$$

となる。ここで

$$ t=12-3r^2

$$

とおくと

$$ dt=-6r,dr

$$

であるから，

$$ \begin{aligned} V &=2\pi\int_0^2 r\sqrt{12-3r^2},dr \\ &=\frac{\pi}{3}\int_0^{12}\sqrt{t},dt \\ &=\frac{\pi}{3}\cdot \frac{2}{3}t^{3/2}\Big|_0^{12} \\ &=\frac{2\pi}{9}\cdot 12^{3/2} \\ &=\frac{2\pi}{9}\cdot 24\sqrt{3} \\ &=\frac{16\pi\sqrt{3}}{3}. \end{aligned}

$$

解説

この問題の要点は，三次元の条件をそのまま扱わず，$r=\sqrt{x^2+y^2}$ を用いて $rz$ 平面の二次元問題に落とすことである。

（1） は，円までの距離を「平面内の距離」と「鉛直方向の距離」に分ければ直ちに求まる。

（2） では，$M,\ m$ を $rz$ 平面上の2点からの距離とみると，条件が楕円の内部条件になる。さらに，体積は固定した $r$ での高さを使う円筒座標の積分にすると計算が最も素直である。

答え

**(1)**

$$ m=\sqrt{(r-\sqrt{2})^2+(z-\sqrt{2})^2},\qquad M=\sqrt{(r+\sqrt{2})^2+(z+\sqrt{2})^2}

$$

**(2)**

$$ H:\ r^2-rz+z^2\le 3\quad (r\ge 0)

$$

より，体積は

$$ \frac{16\pi\sqrt{3}}{3}

$$

である。