解説

方針・初手

2本の円柱の中心軸の交点を原点にとり，2本の軸を含む平面を $xy$ 平面とする。 一方の円柱の軸を $x$ 軸，もう一方の円柱の軸を，$x$ 軸となす角が $\alpha$ の直線とおく。

すると，共通部分は「各高さ $z$ での断面」を調べると見通しがよい。 実際，$z$ を固定すると断面は平面図形となり，その面積を $z$ について積分すれば体積が求まる。

解法1

一方の円柱を

$$ y^2+z^2\le a^2

$$

とおく。

他方の円柱の軸の方向ベクトルは $(\cos\alpha,\sin\alpha,0)$ であるから，点 $(x,y,z)$ からこの軸までの距離の2乗は

$$ (-x\sin\alpha+y\cos\alpha)^2+z^2

$$

である。したがって，他方の円柱は

$$ (-x\sin\alpha+y\cos\alpha)^2+z^2\le a^2

$$

で表される。

よって，共通部分は

$$ \begin{cases} y^2+z^2\le a^2,\\ (-x\sin\alpha+y\cos\alpha)^2+z^2\le a^2 \end{cases}

$$

を満たす点全体である。

（1） 共通部分の形状

$z$ を固定し，$|z|\le a$ とする。このとき

$$ r=\sqrt{a^2-z^2}

$$

とおけば，共通部分の断面は

$$ |y|\le r,\qquad |-x\sin\alpha+y\cos\alpha|\le r

$$

で与えられる。

これは平面 $z=\text{一定}$ における2つの帯の共通部分であり，断面はひし形になる。 しかも $r=\sqrt{a^2-z^2}$ に比例して大きさだけが変わるので，平面 $z=\text{一定}$ による断面はすべて相似なひし形であり，$|z|$ が大きくなるにつれて縮小し，$z=\pm a$ で1点に退化する。

したがって，共通部分は

「2本の軸を含む平面に平行な各断面がひし形となる，左右対称・上下対称の立体」

である。

（2） 共通部分の体積

断面積を求める。平面 $z=\text{一定}$ において

$$ u=y,\qquad v=-x\sin\alpha+y\cos\alpha

$$

とおくと，断面は

$$ |u|\le r,\qquad |v|\le r

$$

となるから，$uv$ 平面では一辺 $2r$ の正方形になる。

このときヤコビアンは

$$ \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} =

\begin{vmatrix} 0 & 1\\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{vmatrix} =\sin\alpha

$$

であるから，

$$ dx,dy=\frac{1}{\sin\alpha},du,dv

$$

となる。したがって断面積 $S(z)$ は

$$ \begin{aligned} S(z) &= \iint dx,dy \\ \frac{1}{\sin\alpha} \iint_{|u|\le r,\ |v|\le r}du,dv &= \frac{(2r)^2}{\sin\alpha} \\ \frac{4(a^2-z^2)}{\sin\alpha} \end{aligned} $$

である。

よって体積 $V$ は

$$ V=\int_{-a}^{a}S(z),dz =\frac{4}{\sin\alpha}\int_{-a}^{a}(a^2-z^2),dz

$$

であり，

$$ \begin{aligned} \int_{-a}^{a}(a^2-z^2),dz &= 2\int_0^a(a^2-z^2),dz \\ 2\left[a^2z-\frac{z^3}{3}\right]_0^a \\ \frac{4a^3}{3} \end{aligned} $$

だから，

$$ V=\frac{4}{\sin\alpha}\cdot \frac{4a^3}{3} =\frac{16a^3}{3\sin\alpha}

$$

となる。

（3） 体積が最小となる角 $\alpha$

（2） より

$$ V=\frac{16a^3}{3\sin\alpha}

$$

である。

$0<\alpha<\pi$ において $\sin\alpha$ の最大値は $1$ であり，そのとき $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$ である。 したがって $V$ は $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$ のとき最小となる。

解説

この問題の要点は，立体をそのまま扱わず，2本の軸を含む平面に平行な断面を考えることである。 各断面はひし形になり，その大きさが $\sqrt{a^2-z^2}$ によって変化するので，断面積を求めて積分すれば体積が直ちに出る。

また，体積の式が

$$ V=\frac{16a^3}{3\sin\alpha}

$$

と簡潔にまとまるので，最小条件も $\sin\alpha$ の最大を考えるだけで済む。 特に $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$ の場合は，直交する2円柱の共通部分として有名な立体である。

答え

**(1)**

共通部分は，2本の軸を含む平面に平行な各断面がひし形となる立体である。

各断面は $|z|\le a$ において相似なひし形であり，$z=\pm a$ で1点に退化する。

**(2)**

共通部分の体積は

$$ \frac{16a^3}{3\sin\alpha}

$$

である。

**(3)**

体積が最小となるのは

$$ \alpha=\frac{\pi}{2}

$$

のときである。