解説

方針・初手

積分項は $x$ によらない定数である。そこで

$$ I=\int_0^1 f(t)\,dt

$$

とおくと、$f(x)$ は

$$ f(x)=x-e^x+aI

$$

という「$x-e^x$ に定数を足した形」になる。したがって、まず $I$ を求め、その後で $f(x)$ の単調性を調べれば、区間 $[0,1]$ での最小値が決まる。

解法1

$$ I=\int_0^1 f(t)\,dt

$$

とおくと、与式より

$$ f(x)=x-e^x+aI

$$

である。これを $0\le t\le 1$ で積分すると

$$ I=\int_0^1 (t-e^t+aI)\,dt

$$

となるから、

$$ I=\int_0^1 t\,dt-\int_0^1 e^t\,dt+aI

$$

すなわち

$$ I=\frac12-(e-1)+aI=\frac32-e+aI

$$

を得る。よって、$a\ne 1$ より

$$ (1-a)I=\frac32-e

$$

したがって

$$ I=\frac{\frac32-e}{1-a}

$$

である。

ゆえに

$$ f(x)=x-e^x+\frac{a\left(\frac32-e\right)}{1-a}

$$

となる。

ここで、$f(x)$ を微分すると

$$ f'(x)=1-e^x

$$

である。$0\le x\le 1$ では $e^x\ge 1$ だから

$$ f'(x)\le 0

$$

となり、$f(x)$ は区間 $[0,1]$ で単調減少である。したがって、この区間での最小値は $x=1$ のときにとる。

よって、条件「$0\le x\le 1$ で常に $f(x)\ge 0$」は

$$ f(1)\ge 0

$$

と同値である。

$f(1)$ を計算すると

$$ f(1)=1-e+\frac{a\left(\frac32-e\right)}{1-a}

$$

であり、これを通分すると

$$ \begin{aligned} f(1) &=\frac{(1-e)(1-a)+a\left(\frac32-e\right)}{1-a} \\ &=\frac{1-e+a\left(\frac12\right)}{1-a} \\ &=\frac{\frac{a}{2}+1-e}{1-a} \end{aligned} $$

したがって求める条件は

$$ \frac{\frac{a}{2}+1-e}{1-a}\ge 0

$$

である。

分子が $0$ となるのは

$$ \frac a2+1-e=0

$$

すなわち

$$ a=2(e-1)

$$

である。また、分母が $0$ となるのは $a=1$ であり、これはもともと除かれている。

ここで $2(e-1)>1$ であるから、符号を調べると

• $a<1$ では、分子は負、分母は正
• $1<a<2(e-1)$ では、分子は負、分母は負
• $a>2(e-1)$ では、分子は正、分母は負

となる。よって不等式を満たすのは

$$ 1<a\le 2(e-1)

$$

である。

解説

積分方程式であっても、この問題では $\int_0^1 f(t)\,dt$ が $x$ に依存しない定数であることに気づけば、普通の関数の問題に直せる。

その後は $f'(x)=1-e^x\le 0$ により単調減少と分かるので、区間全体での非負条件は右端 $x=1$ だけを調べれば十分である。全点を直接扱おうとすると計算が重くなるが、単調性を使えば一気に整理できる。

答え

$$ 1<a\le 2(e-1)

$$