解説

方針・初手

積分核を加法定理で

$$ \cos(x-t)=\cos x\cos t+\sin x\sin t

$$

と分解すると、$t$ についての積分部分は $x$ によらない定数になる。したがって、$n\geqq 1$ では $f_n(x)$ は $\sin x,\cos x$ の線形結合になる。

まず $f_1(x)$ を計算し、その形が帰納的に保たれることを示す。

解法1

まず定義より、

$$ f_1(x)=\int_0^{\pi/2}\cos(x-t),dt

$$

である。ここで

$$ \cos(x-t)=\cos x\cos t+\sin x\sin t

$$

を用いると、

$$ \begin{aligned} f_1(x) &=\cos x\int_0^{\pi/2}\cos t,dt+\sin x\int_0^{\pi/2}\sin t,dt \\ &=\cos x+\sin x \end{aligned}

$$

となる。

そこで、$n\geqq 1$ に対して

$$ f_n(x)=c_n(\sin x+\cos x)

$$

という形になることを示す。

実際、$f_{n-1}(x)=c_{n-1}(\sin x+\cos x)$ と仮定すると、

$$ \begin{aligned} f_n(x) &=\int_0^{\pi/2}\cos(x-t)f_{n-1}(t),dt \\ &=c_{n-1}\int_0^{\pi/2}\cos(x-t)(\sin t+\cos t),dt \\ &=c_{n-1}\Biggl[ \cos x\int_0^{\pi/2}(\sin t\cos t+\cos^2 t),dt +\sin x\int_0^{\pi/2}(\sin^2 t+\sin t\cos t),dt \Biggr]. \end{aligned}

$$

ここで

$$ \int_0^{\pi/2}\sin t\cos t,dt=\frac12, \qquad \int_0^{\pi/2}\cos^2 t,dt=\int_0^{\pi/2}\sin^2 t,dt=\frac{\pi}{4}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} f_n(x) &=c_{n-1}\left(\frac12+\frac{\pi}{4}\right)(\cos x+\sin x) \\ &=c_{n-1}\frac{\pi+2}{4}(\sin x+\cos x). \end{aligned}

$$

よって

$$ c_n=\frac{\pi+2}{4}c_{n-1}

$$

となる。しかも $f_1(x)=\sin x+\cos x$ であるから $c_1=1$ であり、

$$ c_n=\left(\frac{\pi+2}{4}\right)^{n-1}

$$

を得る。

したがって、

$$ f_n(x)=\left(\frac{\pi+2}{4}\right)^{n-1}(\sin x+\cos x)\qquad(n\geqq 1)

$$

である。

解説

この問題の要点は、積分核 $\cos(x-t)$ を加法定理で分解して、$x$ に関する部分と $t$ に関する部分を分離することである。

一度 $f_1(x)=\sin x+\cos x$ が出ると、以後は常に $\sin x+\cos x$ の定数倍の形に保たれる。区間が $[0,\pi/2]$ であるため、

$$ \int_0^{\pi/2}(\sin t\cos t+\cos^2 t),dt \quad\text{と}\quad \int_0^{\pi/2}(\sin^2 t+\sin t\cos t),dt

$$

が一致し、$\sin x$ と $\cos x$ の係数が同じになることが決定的である。

答え

$$ f_0(x)=1

$$

および

$$ f_n(x)=\left(\frac{\pi+2}{4}\right)^{n-1}(\sin x+\cos x)\qquad(n=1,2,3,\dots)

$$

である。