解説

方針・初手

与えられた分数式を部分分数分解してから積分する。

まず

$$ \frac{1}{x(x-1)^2}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{(x-1)^2}

$$

とおき、両辺に $x(x-1)^2$ を掛けて $a,b,c$ を決定する。

解法1

両辺に $x(x-1)^2$ を掛けると、

$$ 1=a(x-1)^2+bx(x-1)+cx

$$

である。

右辺を展開すると、

$$ \begin{aligned} a(x-1)^2+bx(x-1)+cx &=a(x^2-2x+1)+b(x^2-x)+cx \\ &=(a+b)x^2+(-2a-b+c)x+a \end{aligned}

$$

となるので、係数比較により

$$ \begin{cases} a+b=0 \\ -2a-b+c=0 \\ a=1 \end{cases}

$$

を得る。

$a=1$ より、$b=-1$ であり、これを $-2a-b+c=0$ に代入すると

$$ -2\cdot 1-(-1)+c=0

$$

すなわち

$$ c=1

$$

である。

したがって、

$$ a=1,\quad b=-1,\quad c=1

$$

であり、

$$ \frac{1}{x(x-1)^2}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}

$$

と分解できる。

よって、

$$ \int \frac{dx}{x(x-1)^2} =\int \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}\right)dx

$$

であるから、各項を積分して

$$ \begin{aligned} \int \frac{dx}{x(x-1)^2} &=\log|x|-\log|x-1|-\frac{1}{x-1}+C \end{aligned}

$$

となる。

解説

この問題の要点は、重解 $(x-1)^2$ をもつ分母に対して

$$ \frac{c}{(x-1)^2}

$$

の項まで含めて部分分数分解することである。

$(x-1)^2$ があるのに $\dfrac{b}{x-1}$ だけで済ませてしまうのが典型的な誤りである。分解さえできれば、あとは対数関数と逆数の積分に帰着する。

答え

$$ a=1,\quad b=-1,\quad c=1

$$

$$ \int \frac{dx}{x(x-1)^2} =\log|x|-\log|x-1|-\frac{1}{x-1}+C

$$

ただし、$C$ は積分定数である。