基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題5 解説
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解説
方針・初手
どちらも $1/x$ が付いているので、まず $t=\log x$ とおくのが基本方針である。すると $dt=\dfrac{1}{x}dx$ となり、積分は $t$ の式に直る。
（1） はそのままべき関数の積分になる。
（2） は $\int t^\alpha \log t,dt$ になるので、部分積分を用いる。
解法1
**(1)**
$t=\log x$ とおくと、
$$ dt=\frac{1}{x}dx
$$
であるから、
$$ \begin{aligned} \int \frac{(\log x)^\alpha}{x},dx &= \int t^\alpha,dt \end{aligned} $$
となる。ここで $\alpha\ne -1$ であるから、
$$ \begin{aligned} \int t^\alpha,dt &= \frac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C \end{aligned} $$
したがって、
$$ \begin{aligned} \int \frac{(\log x)^\alpha}{x},dx &= \frac{(\log x)^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C \end{aligned} $$
である。
**(2)**
この積分では $\log(\log x)$ が現れているので、$\log x>0$、すなわち $x>1$ の範囲で考える。
$t=\log x$ とおくと、
$$ dt=\frac{1}{x}dx
$$
より、
$$ \begin{aligned} \int \frac{(\log x)^\alpha}{x}\log(\log x),dx &= \int t^\alpha \log t,dt \end{aligned} $$
となる。
ここで部分積分を用いる。 $u=\log t,\ dv=t^\alpha,dt$ とおくと、
$$ du=\frac{1}{t}dt,\qquad v=\frac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1}
$$
であるから、
$$ \begin{aligned} \int t^\alpha \log t,dt &= \frac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1}\log t &=
\int \frac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1}\cdot \frac{1}{t},dt \\ &= \frac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1}\log t &=
\frac{1}{\alpha+1}\int t^\alpha,dt \\ &= \frac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1}\log t &=
\frac{t^{\alpha+1}}{(\alpha+1)^2} + C \end{aligned}
$$
したがって $t=\log x$ を戻して、
$$ \begin{aligned} \int \frac{(\log x)^\alpha}{x}\log(\log x),dx &= \frac{(\log x)^{\alpha+1}}{\alpha+1}\log(\log x)
\\ \frac{(\log x)^{\alpha+1}}{(\alpha+1)^2} + C \end{aligned} $$
である。
解説
この問題の要点は、$\dfrac{1}{x}dx$ を見たら $t=\log x$ の置換を疑うことである。
（1） は置換後ただちに $\int t^\alpha,dt$ となる基本問題である。
（2） はさらに $\log t$ が残るため、そのままでは積分できない。そこで部分積分を行う。$\log t$ を微分すると $\dfrac{1}{t}$ になり、$t^\alpha$ と組み合わせると再び $t^\alpha$ の積分に戻るので、計算が閉じる。
答え
**(1)**
$$ \begin{aligned} \int \frac{(\log x)^\alpha}{x},dx &= \frac{(\log x)^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C \end{aligned} $$
**(2)**
$$ \begin{aligned} \int \frac{(\log x)^\alpha}{x}\log(\log x),dx &= \frac{(\log x)^{\alpha+1}}{\alpha+1}\log(\log x)
\\ \frac{(\log x)^{\alpha+1}}{(\alpha+1)^2} + C \end{aligned} $$
ただし （2） では $\log(\log x)$ が定義されるため、$x>1$ で考える。