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数学3 積分法「定積分・面積」の問題6 解説

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数学3積分法定積分・面積問題6

解説

積和公式

$$ \sin A\sin B=\frac{1}{2}{\cos(A-B)-\cos(A+B)}

を用いて，被積分関数を余弦の和に直すのが自然である。すると，$0$ から $2\pi$ までの余弦の定積分はほとんど $0$ になるので，$n=1$ の場合だけを注意して処理すればよい。

積和公式より，

$$ \sin nx\sin x=\frac{1}{2}{\cos(n-1)x-\cos(n+1)x}

である。したがって，

$$ \int_0^{2\pi}\sin nx\sin x,dx =\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\cos(n-1)x,dx-\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\cos(n+1)x,dx

となる。

ここで場合分けする。

**(i)**

$n=1$ のとき

$$ \sin x\sin x=\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}

であるから，

$$ \int_0^{2\pi}\sin^2x,dx =\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(1-\cos 2x),dx =\frac{1}{2}(2\pi-0) =\pi

となる。

**(ii)**

$n\neq 1$ のとき

このとき $n-1,\ n+1$ はともに正の整数である。よって，

$$ \int_0^{2\pi}\cos(n-1)x,dx=0,\qquad \int_0^{2\pi}\cos(n+1)x,dx=0

であるから，

$$ \int_0^{2\pi}\sin nx\sin x,dx=0

となる。

この問題の本質は，三角関数の直交性にある。すなわち，区間 $[0,2\pi]$ では異なる周波数の正弦どうしの積の積分は $0$ になる。

積和公式で余弦に直すと，$n=1$ のときだけ $\cos 0x=1$ が現れて積分値が残り，それ以外はすべて打ち消されて $0$ になる。$n=1$ だけ特別であることを見落とさないのが重要である。

$$ \int_0^{2\pi}\sin nx\sin x,dx= \begin{cases} \pi & (n=1),\\ 0 & (n\neq 1) \end{cases}