基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題7 解説
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解説
方針・初手
分母にある $\sqrt{4-3x^2}$ の中身をそのまま置換すると、分子の $x,dx$ も同時に処理できる。したがって
$$ u=4-3x^2
$$
とおくのが自然である。
解法1
求める積分を
$$ I=\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{4-3x^2}},dx
$$
とする。
ここで
$$ u=4-3x^2
$$
とおくと、
$$ du=-6x,dx
$$
より
$$ x,dx=-\frac{1}{6}du
$$
である。
また、積分区間は
$$ x=0 \Rightarrow u=4,\qquad x=1 \Rightarrow u=1
$$
となるから、
$$ \begin{aligned} I &=\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{4-3x^2}},dx \\ &=-\frac{1}{6}\int_4^1 \frac{1}{\sqrt{u}},du \\ &=\frac{1}{6}\int_1^4 u^{-1/2},du \\ &=\frac{1}{6}\left[ 2u^{1/2} \right]_1^4 \\ &=\frac{1}{3}\left( \sqrt{4}-\sqrt{1} \right) \\ &=\frac{1}{3}(2-1) \\ &=\frac{1}{3}. \end{aligned}
$$
解説
この問題は、被積分関数の形が「平方根の中身」とその微分に対応していることを見抜けるかがポイントである。
$$ 4-3x^2
$$
を微分すると $-6x$ となり、分子の $x$ と対応するので、置換積分を用いると一気に処理できる。三角関数の置換でも解けるが、この形なら単純な置換が最短である。
答え
$$ \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{4-3x^2}},dx=\frac{1}{3}
$$