解説

方針・初手

絶対値を外すには，被積分関数の符号を調べればよい。

まず

$$ 2\cos^2 x+3\sin x =2(1-\sin^2 x)+3\sin x =-2\sin^2 x+3\sin x+2 =(2-\sin x)(2\sin x+1)

$$

と変形する。区間 $-\dfrac{\pi}{2}\le x\le \dfrac{\pi}{2}$ では $\sin x$ の値域が分かっているので，この因数分解を用いて符号を判定する。

解法1

$-\dfrac{\pi}{2}\le x\le \dfrac{\pi}{2}$ では

$$ -1\le \sin x\le 1

$$

であるから，

$$ 2-\sin x>0

$$

が常に成り立つ。したがって $2\cos^2 x+3\sin x$ の符号は $2\sin x+1$ の符号で決まる。

ここで，$\sin x$ は区間 $[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$ で単調増加するので，

$$ 2\sin x+1=0 \iff \sin x=-\frac12 \iff x=-\frac{\pi}{6}

$$

より，

$$ \begin{cases} 2\cos^2 x+3\sin x<0 & \left(-\dfrac{\pi}{2}\le x<-\dfrac{\pi}{6}\right),\\ 2\cos^2 x+3\sin x\ge 0 & \left(-\dfrac{\pi}{6}\le x\le \dfrac{\pi}{2}\right) \end{cases}

$$

となる。よって

$$ \begin{aligned} \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left|2\cos^2 x+3\sin x\right|,dx &= -\int_{-\pi/2}^{-\pi/6}(2\cos^2 x+3\sin x),dx +\int_{-\pi/6}^{\pi/2}(2\cos^2 x+3\sin x),dx \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ 2\cos^2 x=1+\cos 2x

$$

より，

$$ \begin{aligned} \int (2\cos^2 x+3\sin x),dx &= \int (1+\cos 2x+3\sin x),dx \\ &=x+\frac12\sin 2x-3\cos x+C \end{aligned} $$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} \int_{-\pi/2}^{-\pi/6}(2\cos^2 x+3\sin x),dx &= \left[x+\frac12\sin 2x-3\cos x\right]_{-\pi/2}^{-\pi/6} \end{aligned} $$

$$ \left(-\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{4}-\frac{3\sqrt3}{2}\right)-\left(-\frac{\pi}{2}\right) =\frac{\pi}{3}-\frac{7\sqrt3}{4}

$$

また，

$$ \begin{aligned} \int_{-\pi/6}^{\pi/2}(2\cos^2 x+3\sin x),dx &= \left[x+\frac12\sin 2x-3\cos x\right]_{-\pi/6}^{\pi/2} \end{aligned}

$$

$$ \frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{4}-\frac{3\sqrt3}{2}\right) =\frac{2\pi}{3}+\frac{7\sqrt3}{4}

$$

よって求める値は

$$ \begin{aligned} -\left(\frac{\pi}{3}-\frac{7\sqrt3}{4}\right) +\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{7\sqrt3}{4}\right) &= \frac{\pi}{3}+\frac{7\sqrt3}{2} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の核心は，絶対値の中身の符号判定である。

そのために $2\cos^2 x+3\sin x$ を $\sin x$ だけの式に直し，さらに

$$ (2-\sin x)(2\sin x+1)

$$

と因数分解するのが有効である。区間内では $2-\sin x>0$ が常に成り立つので，結局 $2\sin x+1$ の符号だけを見ればよい。絶対値付き積分では，まず符号の切り替わる点を正確に求めることが最優先である。

答え

$$ \begin{aligned} \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left|2\cos^2 x+3\sin x\right|,dx &= \frac{\pi}{3}+\frac{7\sqrt3}{2} \end{aligned} $$