基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題9 解説
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解説
方針・初手
被積分関数は
$$ \frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}
$$
である。
これは $x^2+1$ を含む典型的な形であり、
$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)
$$
を計算するとちょうど一致することを利用するのが最も速い。
解法1
まず，不定積分の形を確認する。
$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right) =\frac{d}{dx}\left(x(x^2+1)^{-1/2}\right)
$$
とおくと，積の微分より
$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}\left(x(x^2+1)^{-1/2}\right) &=(x^2+1)^{-1/2}+x\left(-\frac12\right)(x^2+1)^{-3/2}\cdot 2x\\ &=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{x^2}{(x^2+1)^{3/2}}\\ &=\frac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)^{3/2}}\\ &=\frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}. \end{aligned}
$$
したがって，
$$ \int \frac{dx}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} =\int \frac{dx}{(x^2+1)^{3/2}} =\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+C
$$
である。
よって求める定積分は
$$ \begin{aligned} \int_1^2 \frac{dx}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} &=\left[\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right]_1^2\\ &=\frac{2}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{2}}. \end{aligned}
$$
解説
この問題の要点は，被積分関数を
$$ \frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}
$$
と見て，$x/\sqrt{x^2+1}$ の微分を思い出すことである。
三角関数置換でも解けるが，この形は基本公式として直接処理できる。定積分では原始関数を見つけたら，すぐに上下端を代入すればよい。
答え
$$ \int_1^2 \frac{dx}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} =\frac{2}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{2}}
$$