基礎問題集

数学3 積分法「定積分・面積」の問題10 解説

数学3の積分法「定積分・面積」にある問題10の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。

MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。

数学3積分法定積分・面積問題10

解説

$\sin 2x=2\sin x\cos x$ を用いて，被積分関数を $\sin x$ の式にまとめる。すると $\sin x$ を置換すれば直接積分できる形になる。

与えられた不定積分は

$$ \int \sin^4 x \sin 2x , dx

である。

まず，倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ を用いると，

$$ \int \sin^4 x \sin 2x , dx =\int \sin^4 x \cdot 2\sin x\cos x , dx =2\int \sin^5 x\cos x , dx

となる。

ここで

$$ u=\sin x

とおくと，

$$ du=\cos x,dx

であるから，

$$ 2\int \sin^5 x\cos x , dx =2\int u^5,du =2\cdot \frac{u^6}{6}+C =\frac{u^6}{3}+C

したがって $u=\sin x$ を戻して，

$$ \int \sin^4 x \sin 2x , dx =\frac{1}{3}\sin^6 x+C

を得る。

この問題の要点は，$\sin 2x$ をそのまま扱わず，倍角公式で $2\sin x\cos x$ に直すことである。すると $\sin^4 x$ と合わせて $2\sin^5 x\cos x$ となり，$\sin x$ を置換する典型的な形になる。

無理に $\sin^4 x$ を変形する必要はなく，$\cos x,dx$ が見えているので $\sin x$ で置換するのが最短である。

$$ \int \sin^4 x \sin 2x , dx=\frac{1}{3}\sin^6 x+C