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数学3 積分法「定積分・面積」の問題11 解説

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数学3積分法定積分・面積問題11

解説

$\dfrac{1}{\cos x}$ はそのままでは積分しにくいので、標準的に $\sec x+\tan x$ を利用して対数微分の形に持ち込む。

求める不定積分は

$$ \int \frac{1}{\cos x},dx=\int \sec x,dx

である。

ここで、分子分母に $\sec x+\tan x$ を掛けると、

$$ \begin{aligned} \int \sec x,dx &= \int \frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x},dx \end{aligned} $$

となる。

分子を整理すると、

$$ \begin{aligned} \sec x(\sec x+\tan x) &= \sec^2 x+\sec x\tan x \end{aligned} $$

である。一方、

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}(\sec x+\tan x) &= \sec x\tan x+\sec^2 x \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int \sec x,dx &= \int \frac{(\sec x+\tan x)'}{\sec x+\tan x},dx \end{aligned} $$

となる。よって、対数の積分公式より

$$ \begin{aligned} \int \sec x,dx &= \log|\sec x+\tan x|+C \end{aligned} $$

を得る。

したがって、

$$ \begin{aligned} \int \frac{1}{\cos x},dx &= \log\left|\sec x+\tan x\right|+C \end{aligned} $$

である。

なお、$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$、$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ を用いれば、

$$ \begin{aligned} \log\left|\sec x+\tan x\right| &= \log\left|\frac{1+\sin x}{\cos x}\right| \end{aligned} $$

とも書ける。

$\int \sec x,dx$ は頻出の標準問題であり、$\sec x+\tan x$ を掛けて $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ の形にするのが典型処理である。

このとき、$\cos x=0$ となる点では被積分関数が定義されないので、原始関数はそのような点をまたがない区間ごとに考えることになる。そのため、対数には絶対値が必要である。

$$ \begin{aligned} \int \frac{1}{\cos x},dx &= \log|\sec x+\tan x|+C \end{aligned} $$

すなわち

$$ \begin{aligned} \int \frac{1}{\cos x},dx &= \log\left|\frac{1+\sin x}{\cos x}\right|+C \end{aligned} $$

でもよい。