解説

方針・初手

分母に $e^x$ と $e^{-x}$ が混在しているので、まず $e^x$ を掛けて $e^x$ の式にそろえる。

そのうえで $t=e^x$ とおくと、有理関数の積分に帰着できる。

解法1

求める積分を

$$ I=\int \frac{dx}{3e^x-5e^{-x}+2}

$$

とする。

分母の $e^{-x}$ を消すために、分子分母に $e^x$ を掛けると

$$ I=\int \frac{e^x,dx}{3e^{2x}+2e^x-5}

$$

となる。

ここで

$$ t=e^x \quad (t>0)

$$

とおけば

$$ dt=e^x,dx

$$

であるから、

$$ I=\int \frac{dt}{3t^2+2t-5}

$$

となる。

分母を因数分解すると

$$ 3t^2+2t-5=(3t+5)(t-1)

$$

である。したがって、部分分数分解して

$$ \frac{1}{(3t+5)(t-1)} =\frac{A}{t-1}+\frac{B}{3t+5}

$$

とおくと、

$$ 1=A(3t+5)+B(t-1)

$$

である。

$t=1$ を代入して

$$ 1=8A

$$

より

$$ A=\frac18

$$

また、$t=-\frac53$ を代入して

$$ 1=-\frac83 B

$$

より

$$ B=-\frac38

$$

となる。

よって

$$ \frac{1}{(3t+5)(t-1)} =\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{t-1}-\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{3t+5}

$$

であるから、

$$ I=\int \left( \frac{1}{8}\cdot \frac{1}{t-1}-\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{3t+5} \right) dt

$$

$$ =\frac18 \log|t-1|-\frac18 \log|3t+5|+C

$$

となる。

したがって

$$ I=\frac18 \log \left| \frac{t-1}{3t+5} \right|+C

$$

ここで $t=e^x$ を戻して

$$ I=\frac18 \log \left| \frac{e^x-1}{3e^x+5} \right|+C

$$

を得る。

解説

指数関数 $e^x,\ e^{-x}$ が混在する式では、$e^x$ または $e^{-x}$ でそろえてから置換するのが基本方針である。

本問では $t=e^x$ とおくと二次式の分母をもつ有理関数になり、あとは因数分解と部分分数分解で処理できる。

なお、元の分母は $x=0$ で $0$ になるので、積分定数を含む原始関数は $x<0$ と $x>0$ の各区間で考えることになる。

答え

$$ \begin{aligned} \int \frac{dx}{3e^x-5e^{-x}+2} &= \frac18 \log \left| \frac{e^x-1}{3e^x+5} \right|+C \end{aligned} $$