解説

方針・初手

被積分関数は

$$ (x^2+a^2)^{-\frac{3}{2}}

$$

であり、$\sqrt{x^2+a^2}$ を含む形である。そこで

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\right)

$$

を計算すると、ちょうど $(x^2+a^2)^{-\frac32}$ が現れることを利用する。

解法1

まず

$$ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}=x(x^2+a^2)^{-\frac12}

$$

とおく。これを微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &=(x^2+a^2)^{-\frac12} +x\left(-\frac12\right)(x^2+a^2)^{-\frac32}\cdot 2x \\ &=(x^2+a^2)^{-\frac12}-x^2(x^2+a^2)^{-\frac32} \\ &=\frac{x^2+a^2-x^2}{(x^2+a^2)^{\frac32}} \\ &=\frac{a^2}{(x^2+a^2)^{\frac32}}. \end{aligned}

$$

したがって、$a\neq 0$ のとき

$$ (x^2+a^2)^{-\frac32} =\frac{1}{a^2}\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\right)

$$

であるから、

$$ \int (x^2+a^2)^{-\frac32},dx =\frac{1}{a^2}\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}+C =\frac{x}{a^2\sqrt{x^2+a^2}}+C.

$$

なお、（i） $a=0$ のときは被積分関数は

$$ (x^2)^{-\frac32}=\frac{1}{|x|^3}

$$

となり、通常の実数範囲で区間を固定して扱うと、たとえば $x>0$ では $x^{-3}$ であるから

$$ \int x^{-3},dx=-\frac{1}{2x^2}+C

$$

となる。入試ではふつう $a\neq 0$ とみなして処理する場面が多い。

解説

この問題の要点は、三角置換をする前に「微分して元の形が出る式」を探すことである。

$$ \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}

$$

の微分で分子に $a^2$ が残るのが典型形であり、これを覚えていると短く処理できる。三角置換でも解けるが、この問題では直接微分を利用する方が簡潔である。

答え

$$ \int (x^2+a^2)^{-\frac32},dx =\frac{x}{a^2\sqrt{x^2+a^2}}+C \qquad (a\neq 0)

$$

ただし、$a=0$ ならば

$$ \int (x^2)^{-\frac32},dx=-\frac{1}{2x^2}+C

$$

である。