解説

方針・初手

部分和を

$$ S_n=\log(1+x)+\log(1+x^2)+\cdots+\log(1+x^{2^n})

$$

とおく。対数の和は積の対数に直せるので，

$$ (1-x)(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^{2^n})

$$

の形をまとめればよい。これは差の平方の繰り返しで整理できる。

解法1

部分和 $S_n$ を考えると，

$$ S_n=\log{(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^{2^n})}

$$

である。

ここで

$$ (1-x)(1+x)=1-x^2,

$$

さらに

$$ (1-x^2)(1+x^2)=1-x^4,

$$

というように順に掛けていくと，

$$ (1-x)(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^{2^n})=1-x^{2^{n+1}}

$$

となる。したがって $x\ne 1$ で

$$ (1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^{2^n}) =\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}

$$

であるから，

$$ S_n=\log\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}

$$

を得る。

（1） 収束する $x$ の範囲

まず，各項が定義されるためには特に最初の項 $\log(1+x)$ が必要なので，

$$ 1+x>0

$$

すなわち

$$ x>-1

$$

でなければならない。

次に，$-1<x<1$ なら $|x|<1$ だから

$$ x^{2^{n+1}}\to 0 \qquad (n\to\infty)

$$

となる。よって

$$ S_n\to \log\frac{1}{1-x}=-\log(1-x)

$$

であり，級数は収束する。

一方，$x=1$ では

$$ S_n=(n+1)\log 2

$$

となって発散する。

また，$x>1$ では一般項 $\log(1+x^{2^n})$ が $0$ に近づかないので，級数は収束しない。

さらに $x\le -1$ では $\log(1+x)$ が定義されない。

したがって，収束する範囲は

$$ -1<x<1

$$

である。

このとき和は

$$ f(x)=\lim_{n\to\infty}S_n=-\log(1-x)

$$

となる。

（2） $y=f(x)$ のグラフ

（1） より

$$ y=f(x)=-\log(1-x)\qquad (-1<x<1)

$$

である。したがって，グラフは対数関数 $y=-\log(1-x)$ の $-1<x<1$ における部分である。

特徴を挙げると，

• $x=0$ のとき $y=0$ なので，原点 $(0,0)$ を通る。
• $x\to -1+0$ のとき

$$ y\to -\log 2

$$

となるので，左端では点 $(-1,-\log 2)$ に近づくが，$x=-1$ は定義域に含まれない。

• $x\to 1-0$ のとき

$$ y\to +\infty

$$

となるので，直線 $x=1$ が鉛直漸近線である。

• $-1<x<1$ で単調増加する。

よって，$(-1,-\log 2)$ に近い位置から始まり，$(0,0)$ を通って，$x=1$ に近づくにつれて上へ発散する右上がりの曲線である。

（3） $f'(x)$ の不定積分

不定積分は，もとの関数 $f(x)$ に積分定数を加えたものであるから，

$$ \int f'(x),dx=f(x)+C

$$

である。（1） の範囲では

$$ f(x)=-\log(1-x)

$$

だから，

$$ \int f'(x),dx=-\log(1-x)+C

$$

となる。

解説

この問題の要点は，対数の和を積に直し，

$$ (1-x)(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^{2^n})=1-x^{2^{n+1}}

$$

という積の整理を見抜くことである。これにより部分和が明示でき，収束範囲も和の式も同時に求まる。

特に，収束判定では「一般項が $0$ に近づくかどうか」と「そもそも対数が定義されるかどうか」の両方を確認する必要がある。

答え

**(1)**

この無限級数が収束するのは

$$ -1<x<1

$$

である。

**(2)**

その範囲で

$$ y=f(x)=-\log(1-x)\qquad (-1<x<1)

$$

であり，$(0,0)$ を通り，$x\to -1+0$ で $y\to -\log 2$，$x\to 1-0$ で $y\to +\infty$ となる増加曲線である。

**(3)**

$$ \int f'(x),dx=-\log(1-x)+C

$$

である。