基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題17 解説
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解説
方針・初手
被積分関数を展開し、区間 $[-\pi,\pi]$ における奇関数の積分が $0$ になることを用いる。
そのうえで、$a,b$ に関する2次式として整理し、平方完成すれば最小値がただちに分かる。
解法1
まず
$$ I=\int_{-\pi}^{\pi}(x-a\sin x-b\cos x)^2,dx
$$
を展開すると、
$$ I=\int_{-\pi}^{\pi}\left(x^2+a^2\sin^2 x+b^2\cos^2 x-2ax\sin x-2bx\cos x+2ab\sin x\cos x\right),dx
$$
となる。
ここで、各項の偶奇に注目する。
- $x^2$ は偶関数
- $\sin^2 x,\ \cos^2 x$ は偶関数
- $x\sin x$ は偶関数
- $x\cos x$ は奇関数
- $\sin x\cos x$ は奇関数
したがって、
$$ \int_{-\pi}^{\pi}x\cos x,dx=0,\qquad \int_{-\pi}^{\pi}\sin x\cos x,dx=0
$$
であるから、
$$ I=\int_{-\pi}^{\pi}x^2,dx +a^2\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 x,dx +b^2\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 x,dx -2a\int_{-\pi}^{\pi}x\sin x,dx
$$
となる。
それぞれ計算する。
まず、
$$ \int_{-\pi}^{\pi}x^2,dx =2\int_0^{\pi}x^2,dx =2\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{\pi} =\frac{2\pi^3}{3}
$$
また、
$$ \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 x,dx=\pi,\qquad \int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 x,dx=\pi
$$
である。
さらに、
$$ \int_{-\pi}^{\pi}x\sin x,dx =2\int_0^{\pi}x\sin x,dx
$$
であり、部分積分を用いると
$$ \int_0^{\pi}x\sin x,dx =\left[-x\cos x+\sin x\right]_0^{\pi} =\pi
$$
だから、
$$ \int_{-\pi}^{\pi}x\sin x,dx=2\pi
$$
となる。
以上より、
$$ I=\frac{2\pi^3}{3}+\pi a^2+\pi b^2-4\pi a
$$
すなわち
$$ I=\pi(a^2-4a+b^2)+\frac{2\pi^3}{3}
$$
である。これを平方完成すると、
$$ I=\pi\left\{(a-2)^2+b^2\right\}+\frac{2\pi^3}{3}-4\pi
$$
となる。
ここで $(a-2)^2\geqq 0,\ b^2\geqq 0$ であるから、$I$ は
$$ a=2,\qquad b=0
$$
のとき最小となり、その最小値は
$$ \frac{2\pi^3}{3}-4\pi
$$
である。
解説
この問題の要点は、展開後に奇関数の積分が消えることを見抜くことである。
すると $I$ は $a,b$ に関する2次式に落ち、最後は平方完成で最小値を求めるだけになる。特に $x\cos x$ と $\sin x\cos x$ が奇関数であることを落とさないことが重要である。
答え
$$ \text{[ア] }\ \pi\left\{(a-2)^2+b^2\right\}+\frac{2\pi^3}{3}-4\pi
$$
$$ \text{[イ] }2
$$
$$ \text{[ウ] }0
$$
$$ \text{[エ] }\frac{2\pi^3}{3}-4\pi
$$