解説

方針・初手

積分の中に現れる核 $e^{-x+y}$ は、$x$ に関する部分と $y$ に関する部分に分離できる。

すなわち

$$ e^{-x+y}=e^{-x}e^y

$$

であるから、$f_n(x)$ は毎回

$$ f_n(x)=x+\text{定数}\cdot e^{-x}

$$

という形になることが予想できる。まず （1） で $f_2(x)$ を直接求め、次にこの形を用いて係数の漸化式を立てれば、一般項と極限が一気に求まる。

解法1

まず

$$ f_1(x)=x

$$

であり、$n\geqq 2$ に対して

$$ f_n(x)=x+\frac12\int_0^1 e^{-x+y}f_{n-1}(y),dy

$$

である。

（1） $f_2(x)$ を求める

$f_1(y)=y$ を代入すると

$$ f_2(x)=x+\frac12\int_0^1 e^{-x+y}y,dy

$$

となる。ここで $e^{-x}$ は $y$ に関する積分では定数なので बाहरに出して

$$ f_2(x)=x+\frac{e^{-x}}{2}\int_0^1 ye^y,dy

$$

を得る。

$\int ye^y,dy$ は部分積分により

$$ \int ye^y,dy=e^y(y-1)

$$

であるから、

$$ \int_0^1 ye^y,dy=\left[e^y(y-1)\right]_0^1=0-(-1)=1

$$

となる。よって

$$ f_2(x)=x+\frac12 e^{-x}

$$

である。

（2） $f_n(x)$ を求める

$f_n(x)$ が

$$ f_n(x)=x+a_n e^{-x}

$$

という形で表せると考える。実際、$f_1(x)=x$ であるから

$$ a_1=0

$$

としてこの形に含めてよい。

このとき $f_{n-1}(y)=y+a_{n-1}e^{-y}$ を漸化式に代入すると、

$$ \begin{aligned} f_n(x) &=x+\frac12\int_0^1 e^{-x+y}\bigl(y+a_{n-1}e^{-y}\bigr),dy \\ &=x+\frac{e^{-x}}{2}\int_0^1 \bigl(ye^y+a_{n-1}\bigr),dy \\ &=x+\frac{e^{-x}}{2}\left(\int_0^1 ye^y,dy+a_{n-1}\int_0^1 1,dy\right). \end{aligned}

$$

先ほど求めたように

$$ \int_0^1 ye^y,dy=1,\qquad \int_0^1 1,dy=1

$$

であるから、

$$ f_n(x)=x+\frac{1+a_{n-1}}{2}e^{-x}

$$

となる。したがって係数 $a_n$ は

$$ a_n=\frac{1+a_{n-1}}{2}\qquad (n\geqq 2),\quad a_1=0

$$

を満たす。

これは一次の漸化式である。両辺から $1$ を引くと

$$ a_n-1=\frac12(a_{n-1}-1)

$$

であり、$a_1-1=-1$ だから

$$ a_n-1=\left(\frac12\right)^{n-1}(a_1-1)=-\left(\frac12\right)^{n-1}

$$

となる。よって

$$ a_n=1-\left(\frac12\right)^{n-1}=1-2^{1-n}

$$

である。

したがって

$$ f_n(x)=x+\left(1-2^{1-n}\right)e^{-x}

$$

を得る。

（3） $\displaystyle \lim_{n\to\infty} f_n(x)$ を求める

上で求めた一般項より

$$ f_n(x)=x+\left(1-2^{1-n}\right)e^{-x}

$$

であるから、$n\to\infty$ とすると

$$ 2^{1-n}\to 0

$$

より

$$ \lim_{n\to\infty} f_n(x)=x+e^{-x}

$$

である。

解説

この問題の要点は、積分核 $e^{-x+y}$ を

$$ e^{-x}e^y

$$

と分離して見ることである。これにより、$x$ に依存する部分は常に $e^{-x}$ のみであり、$f_n(x)$ の形が

$$ x+a_n e^{-x}

$$

に保たれることが分かる。

したがって本質は関数列そのものではなく、係数列 ${a_n}$ の漸化式

$$ a_n=\frac{1+a_{n-1}}{2}

$$

を解くことにある。この見通しが立てば、一般項も極限も簡潔に処理できる。

答え

**(1)**

$$ f_2(x)=x+\frac12 e^{-x}

$$

**(2)**

$$ f_n(x)=x+\left(1-2^{1-n}\right)e^{-x}

$$

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty} f_n(x)=x+e^{-x}

$$