解説

方針・初手

第2式の積分は上端が $\pi$ で一定なので、積分部分は $x$ によらない定数である。したがって第2式をまず微分すると $g'(x)$ が直ちに求まる。

次に、その形を第1式に代入し、第1式を微分して得られる微分方程式を解く。最後に、第2式に含まれる定数を積分条件から決定する。

解法1

第2式の積分部分を

$$ A=\int_0^\pi {f(t)-g'(t)},dt

$$

とおくと、

$$ g(x)=\sin x-A

$$

である。ここで $A$ は定数なので、両辺を微分して

$$ g'(x)=\cos x

$$

を得る。

したがって

$$ A=\int_0^\pi f(t),dt-\int_0^\pi g'(t),dt

$$

であり、$g'(t)=\cos t$ より

$$ \int_0^\pi g'(t),dt=\int_0^\pi \cos t,dt=0

$$

だから、

$$ A=\int_0^\pi f(t),dt

$$

となる。

一方、第1式

$$ f(x)=\frac12-\int_0^x {f(t)+g(t)},dt

$$

を微分すると、微積分の基本定理より

$$ f'(x)=-(f(x)+g(x))

$$

である。さらに $x=0$ を代入すると

$$ f(0)=\frac12

$$

を得る。

ここで $g(x)=\sin x-A$ を代入すると、

$$ f'(x)+f(x)=A-\sin x,\qquad f(0)=\frac12

$$

となる。

これを解く。特解を

$$ f_p(x)=A+\alpha \sin x+\beta \cos x

$$

とおくと、

$$ \begin{aligned} f_p'(x)+f_p(x) &= A+(\alpha-\beta)\sin x+(\alpha+\beta)\cos x \end{aligned} $$

であるから、

$$ \alpha-\beta=-1,\qquad \alpha+\beta=0

$$

より

$$ \alpha=-\frac12,\qquad \beta=\frac12

$$

となる。したがって一般解は

$$ f(x)=Ce^{-x}+A+\frac12(\cos x-\sin x)

$$

である。

初期条件 $f(0)=\frac12$ を用いると

$$ C+A+\frac12=\frac12

$$

より

$$ C=-A

$$

である。よって

$$ f(x)=A(1-e^{-x})+\frac12(\cos x-\sin x)

$$

となる。

最後に $A=\int_0^\pi f(t),dt$ を用いて $A$ を決める。

$$ A=\int_0^\pi \left\{A(1-e^{-t})+\frac12(\cos t-\sin t)\right\},dt

$$

すなわち

$$ A =

A\int_0^\pi (1-e^{-t}),dt +\frac12\int_0^\pi (\cos t-\sin t),dt

$$

である。各積分を計算すると

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi (1-e^{-t}),dt &= \pi-(1-e^{-\pi}) \\ \pi-1+e^{-\pi} \end{aligned} $$

および

$$ \begin{aligned} \frac12\int_0^\pi (\cos t-\sin t),dt &= \frac12\left(\int_0^\pi \cos t,dt-\int_0^\pi \sin t,dt\right) \\ \frac12(0-2) \\ -1 \end{aligned} $$

だから、

$$ A=A(\pi-1+e^{-\pi})-1

$$

となる。これを整理すると

$$ A(\pi+e^{-\pi}-2)=1

$$

ゆえに

$$ A=\frac{1}{\pi+e^{-\pi}-2}

$$

である。

したがって

$$ g(x)=\sin x-\frac{1}{\pi+e^{-\pi}-2}

$$

また

$$ f(x)=\frac{1-e^{-x}}{\pi+e^{-\pi}-2}+\frac12(\cos x-\sin x)

$$

を得る。

解説

この問題の要点は、第2式の積分の上端が $x$ ではなく $\pi$ であるため、その積分が定数になることにある。ここに気づけば、第2式は実質的に $g(x)=\sin x-\text{定数}$ という形になり、$g'(x)=\cos x$ がすぐ分かる。

その後は、第1式を微分して一次の線形微分方程式に帰着し、最後に定数を積分条件で決めればよい。積分方程式と見えても、実際には微分方程式として処理するのが自然な問題である。

答え

$$ f(x)=\frac{1-e^{-x}}{\pi+e^{-\pi}-2}+\frac12(\cos x-\sin x)

$$

$$ g(x)=\sin x-\frac{1}{\pi+e^{-\pi}-2}

$$