解説

方針・初手

変曲点の有無は $f''(x)$ の符号変化で判定するのが基本である。

この問題では積分の上端が $\sqrt{x}$ であるから、まず微分の基本公式を用いて $f'(x),f''(x)$ を求める。

解法1

与えられた関数は

$$ f(x)=\int_0^{\sqrt{x}} e^{t^2}t^n,dt \qquad (0<x<10)

$$

である。

積分の上端が $x$ の関数であるから、微分積分学の基本定理より

$$ f'(x)=e^{(\sqrt{x})^2}(\sqrt{x})^n\cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})

$$

となる。したがって

$$ f'(x)=e^x x^{n/2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac12 e^x x^{\frac{n-1}{2}}

$$

である。

さらに微分すると

$$ f''(x)=\frac12\frac{d}{dx}\left(e^x x^{\frac{n-1}{2}}\right)

$$

であるから、積の微分法により

$$ \begin{aligned} f''(x) &=\frac12\left(e^x x^{\frac{n-1}{2}}+e^x\cdot \frac{n-1}{2}x^{\frac{n-3}{2}}\right) \\ &=\frac12 e^x x^{\frac{n-3}{2}}\left(x+\frac{n-1}{2}\right) \\ &=\frac14 e^x x^{\frac{n-3}{2}}(2x+n-1) \end{aligned}

$$

となる。

ここで $0<x<10$ では

$$ e^x>0,\qquad x^{\frac{n-3}{2}}>0

$$

であるから、$f''(x)$ の符号は $2x+n-1$ の符号だけで決まる。

変曲点が存在するためには、$2x+n-1=0$ を満たす $x$ が区間 $0<x<10$ にあり、その前後で符号が変わればよい。 $2x+n-1=0$ の解は

$$ x=\frac{1-n}{2}

$$

である。

これが $0<x<10$ を満たす条件は

$$ 0<\frac{1-n}{2}<10

$$

であるが、左側の不等式から

$$ n<1

$$

を得る。$n$ は負でない整数なので

$$ n=0

$$

しかない。

このとき

$$ x=\frac{1-0}{2}=\frac12

$$

であり、実際

$$ f''(x)=\frac14 e^x x^{-3/2}(2x-1)

$$

となるから、$x=\frac12$ の前後で $2x-1$ の符号が変わり、変曲点となる。

よって、変曲点が存在するのは $n=0$ の場合のみであり、その $x$ 座標は $\dfrac12$ である。

解説

この問題の本質は、積分そのものを計算することではなく、上端が $\sqrt{x}$ である積分を微分して $f''(x)$ の符号を調べることである。

$e^x$ や $x^{(n-3)/2}$ は $x>0$ で常に正なので、符号判定は一次式 $2x+n-1$ だけを見ればよい。したがって、変曲点の有無はその零点

$$ x=\frac{1-n}{2}

$$

が区間内に入るかどうかに帰着する。

答え

変曲点が存在するような $n$ は

$$ n=0

$$

のみである。

そのときの変曲点の $x$ 座標は

$$ x=\frac12

$$

である。