解説

方針・初手

各項を

$$ \frac{n}{(2n+k)^2}\log\frac{n+2k}{n} =\frac{1}{n}\cdot \frac{\log\left(1+2\frac{k}{n}\right)}{\left(2+\frac{k}{n}\right)^2}

$$

の形に直すと、和全体が区間 $[0,1]$ 上のリーマン和になる。したがって、まず定積分に直してからその積分を計算するのが自然である。

解法1

与えられた和を

$$ S_n=\frac{n}{(2n+1)^2}\log\frac{n+2}{n} +\frac{n}{(2n+2)^2}\log\frac{n+4}{n} +\cdots+ \frac{n}{(2n+n)^2}\log\frac{n+2n}{n}

$$

とおく。

一般項を見ると、$k=1,2,\dots,n$ に対して

$$ S_n =\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{(2n+k)^2}\log\frac{n+2k}{n} =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot \frac{\log\left(1+2\frac{k}{n}\right)}{\left(2+\frac{k}{n}\right)^2}

$$

である。

ここで

$$ f(x)=\frac{\log(1+2x)}{(2+x)^2}

$$

とおくと、$f(x)$ は $[0,1]$ で連続であるから、

$$ \lim_{n\to\infty}S_n = \int_0^1 \frac{\log(1+2x)}{(2+x)^2}\,dx

$$

となる。

そこで

$$ I=\int_0^1 \frac{\log(1+2x)}{(2+x)^2}\,dx

$$

を計算する。

部分積分を用いる。$u=\log(1+2x)$、$dv=\dfrac{dx}{(2+x)^2}$ とすると、

$$ du=\frac{2}{1+2x}\,dx,\qquad v=-\frac{1}{2+x}

$$

より、

$$ I=\left[-\frac{\log(1+2x)}{2+x}\right]_0^1 +\int_0^1 \frac{2}{(1+2x)(2+x)}\,dx

$$

となる。

まず境界項は

$$ \left[-\frac{\log(1+2x)}{2+x}\right]_0^1 = -\frac{\log 3}{3}

$$

である。

次に、

$$ \frac{2}{(1+2x)(2+x)} = \frac{4/3}{1+2x}-\frac{2/3}{2+x}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} I &= -\frac{\log 3}{3} +\int_0^1\left( \frac{4/3}{1+2x}-\frac{2/3}{2+x} \right)\,dx \\ &= -\frac{\log 3}{3} +\frac{4}{3}\int_0^1\frac{dx}{1+2x} -\frac{2}{3}\int_0^1\frac{dx}{2+x} \\ &= -\frac{\log 3}{3} +\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}\bigl[\log(1+2x)\bigr]_0^1 -\frac{2}{3}\bigl[\log(2+x)\bigr]_0^1 \\ &= -\frac{\log 3}{3} +\frac{2}{3}\log 3 -\frac{2}{3}(\log 3-\log 2) \\ &= \frac{2}{3}\log 2-\frac{1}{3}\log 3 \\ &= \frac{1}{3}\log\frac{4}{3} \end{aligned}

$$

したがって、

$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{3}\log\frac{4}{3}

$$

である。

解説

この問題の本質は、各項に含まれる $n$ を整理して

$$ \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)

$$

の形を見抜くことである。これにより、極限計算が定積分の計算に置き換わる。

その後の積分は直接置換するよりも、$\log(1+2x)$ があるので部分積分を用いると処理しやすい。部分積分後は有理式の積分になり、部分分数分解で簡単に求まる。

答え

$$ \frac{1}{3}\log\frac{4}{3}

$$