解説

方針・初手

2曲線の $x=e$ における接線が一致するので、そこでの関数値と微分係数がともに等しい。まずこの条件から $a_1,a_2,b_1,b_2$ の関係を求める。

その後、2曲線の上下関係を調べ、$x=e$ から $x=e^2$ までの差を積分すればよい。

解法1

2つの曲線を

$$ y_1=\log x+a_1x+b_1,\qquad y_2=-\log x+a_2x+b_2

$$

とおく。

それぞれの導関数は

$$ y_1'=\frac{1}{x}+a_1,\qquad y_2'=-\frac{1}{x}+a_2

$$

である。

$x=e$ における接線が一致するためには、まず傾きが等しいから

$$ \frac{1}{e}+a_1=-\frac{1}{e}+a_2

$$

より、

$$ a_2-a_1=\frac{2}{e}

$$

である。

また、接線が一致するには接点の $y$ 座標も等しい必要がある。したがって

$$ \log e+a_1e+b_1=-\log e+a_2e+b_2

$$

である。$\log e=1$ だから、

$$ 1+a_1e+b_1=-1+a_2e+b_2

$$

となる。ここに $a_2-a_1=\dfrac{2}{e}$ を用いると、

$$ 1+a_1e+b_1=-1+a_1e+2+b_2

$$

より、

$$ b_1=b_2

$$

を得る。

したがって、2曲線の差は

$$ \begin{aligned} y_2-y_1 &=\left(-\log x+a_2x+b_2\right)-\left(\log x+a_1x+b_1\right)\\ &=-2\log x+(a_2-a_1)x+(b_2-b_1)\\ &=-2\log x+\frac{2}{e}x\\ &=2\left(\frac{x}{e}-\log x\right) \end{aligned}

$$

である。

ここで

$$ \phi(x)=\frac{x}{e}-\log x

$$

とおくと、

$$ \phi'(x)=\frac{1}{e}-\frac{1}{x}=\frac{x-e}{ex}

$$

である。よって $x\ge e$ では $\phi'(x)\ge 0$ であり、また

$$ \phi(e)=1-1=0

$$

だから、$e\le x\le e^2$ において

$$ y_2-y_1\ge 0

$$

である。

したがって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_e^{e^2}(y_2-y_1),dx

$$

である。これに上の式を代入すると、

$$ \begin{aligned} S &=\int_e^{e^2}2\left(\frac{x}{e}-\log x\right),dx\\ &=\left[\frac{x^2}{e}-2x\log x+2x\right]_e^{e^2} \end{aligned}

$$

である。

上端 $x=e^2$ では

$$ \frac{x^2}{e}-2x\log x+2x =e^3-2e^2\cdot 2+2e^2 =e^3-2e^2

$$

である。

下端 $x=e$ では

$$ \frac{x^2}{e}-2x\log x+2x =e-2e+2e =e

$$

である。

よって

$$ S=(e^3-2e^2)-e

$$

すなわち

$$ S=e^3-2e^2-e

$$

である。

解説

この問題の要点は、接線が一致する条件を「傾きが等しい」だけで終わらせないことである。接線そのものが一致するには、$x=e$ における2曲線の点も一致していなければならない。

その条件から $a_2-a_1=\dfrac{2}{e}$、$b_1=b_2$ が決まり、曲線の差は定数に依存しない

$$ y_2-y_1=2\left(\frac{x}{e}-\log x\right)

$$

に整理される。あとは、$x=e$ で接し、$x=e^2$ で閉じられる図形の面積として積分すればよい。

答え

$$ e^3-2e^2-e

$$