解説

方針・初手

$x$ 軸との交点を求めるために、$t=e^x$ とおく。すると $t>0$ の2次方程式に帰着できる。交点の $x$ 座標が分かれば、その間で曲線が $x$ 軸の下側にあることを確認し、面積を定積分で求める。

解法1

曲線を

$$ y=a e^x+\left(1-\frac{a}{2}\right)e^{-x}-\sqrt{2}

$$

とする。$t=e^x$ とおくと $t>0$ であり、$y=0$ は

$$ a t+\left(1-\frac{a}{2}\right)\frac{1}{t}-\sqrt{2}=0

$$

すなわち

$$ a t^2-\sqrt{2}t+\left(1-\frac{a}{2}\right)=0

$$

となる。

ここで $0<a<1$ より、

$$ 1-\frac{a}{2}=\frac{2-a}{2}

$$

であるから、方程式は

$$ a t^2-\sqrt{2}t+\frac{2-a}{2}=0

$$

である。解の公式より、

$$ t=\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{2(a-1)^2}}{2a}

$$

である。$0<a<1$ なので $|a-1|=1-a$ であり、

$$ t=\frac{\sqrt{2}{1\pm(1-a)}}{2a}

$$

となる。したがって

$$ t=\frac{1}{\sqrt{2}},\quad \frac{2-a}{\sqrt{2}a}

$$

を得る。

よって交点の $x$ 座標は

$$ \alpha=\log\frac{1}{\sqrt{2}},\quad \beta=\log\frac{2-a}{\sqrt{2}a}

$$

である。$0<a<1$ より

$$ \frac{2-a}{\sqrt{2}a}>\frac{1}{\sqrt{2}}

$$

だから、$\alpha<\beta$ である。

また、$t=e^x$ に関する2次式

$$ a t^2-\sqrt{2}t+\frac{2-a}{2}

$$

は上に凸であるから、2つの正の解の間で負となる。したがって $\alpha<x<\beta$ で曲線は $x$ 軸の下側にある。

求める面積を $S$ とすると、

$$ S=\int_{\alpha}^{\beta}\left\{\sqrt{2}-a e^x-\left(1-\frac{a}{2}\right)e^{-x}\right\},dx

$$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} S &=\left[\sqrt{2}x-ae^x+\left(1-\frac{a}{2}\right)e^{-x}\right]_{\alpha}^{\beta}. \end{aligned}

$$

ここで

$$ e^\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}},\quad e^\beta=\frac{2-a}{\sqrt{2}a}

$$

であり、

$$ e^{-\alpha}=\sqrt{2},\quad e^{-\beta}=\frac{\sqrt{2}a}{2-a}

$$

である。また、

$$ \beta-\alpha =\log\frac{2-a}{\sqrt{2}a}-\log\frac{1}{\sqrt{2}} =\log\frac{2-a}{a}

$$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} S &=\sqrt{2}(\beta-\alpha)-a(e^\beta-e^\alpha) +\left(1-\frac{a}{2}\right)(e^{-\beta}-e^{-\alpha})\\ &=\sqrt{2}\log\frac{2-a}{a} -a\left(\frac{2-a}{\sqrt{2}a}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) +\frac{2-a}{2}\left(\frac{\sqrt{2}a}{2-a}-\sqrt{2}\right)\\ &=\sqrt{2}\log\frac{2-a}{a} -\sqrt{2}(1-a) -\sqrt{2}(1-a)\\ &=\sqrt{2}\left(\log\frac{2-a}{a}-2(1-a)\right). \end{aligned}

$$

よって、求める面積は

$$ \sqrt{2}\left(\log\frac{2-a}{a}-2+2a\right)

$$

である。

解説

この問題では、$e^x$ と $e^{-x}$ が同時に出てくるため、$t=e^x$ とおくのが自然である。すると $x$ 軸との交点は2次方程式の解として求められる。

注意すべき点は、面積を求めるときに曲線が $x$ 軸の上側か下側かを確認することである。今回は交点の間で曲線が $x$ 軸の下側にあるため、面積は $-y$ を積分する形になる。

答え

$$ \boxed{\sqrt{2}\left(\log\frac{2-a}{a}-2+2a\right)}

$$