解説

方針・初手

媒介変数表示された曲線の接線の傾きは

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}

$$

で求まる。

したがって、まず $\frac{dx}{d\theta},\frac{dy}{d\theta}$ を計算し、傾きが $\tan \frac{\pi}{4}=1$ となる点を特定する。

面積は、その接点までの曲線の下側の面積を $\int y,dx$ で求め、接線と $x$ 軸でできる三角形の面積との差として処理するのが自然である。

解法1

曲線 $C$ は

$$ x=a(\theta-\sin\theta),\qquad y=a(1-\cos\theta)\qquad (0<\theta<\pi)

$$

で与えられる。

まず微分すると

$$ \frac{dx}{d\theta}=a(1-\cos\theta),\qquad \frac{dy}{d\theta}=a\sin\theta

$$

である。

ここで $0<\theta<\pi$ では $1-\cos\theta>0$ であるから、接線の傾きは

$$ \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{a\sin\theta}{a(1-\cos\theta)} \\ \frac{\sin\theta}{1-\cos\theta} \end{aligned} $$

となる。

さらに半角公式を用いると

$$ \begin{aligned} \frac{\sin\theta}{1-\cos\theta} &= \frac{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{2\sin^2\frac{\theta}{2}} \\ \cot\frac{\theta}{2} \end{aligned} $$

である。

（1） 接線が $x$ 軸の正の向きとなす角が $\frac{\pi}{4}$ であるから、その傾きは $1$ である。よって

$$ \cot\frac{\theta}{2}=1

$$

より

$$ \frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{4} \quad\Longrightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{2}

$$

となる。

このときの接点は

$$ x=a\left(\frac{\pi}{2}-1\right),\qquad y=a

$$

である。

したがって求める接線の方程式は

$$ y-a=x-a\left(\frac{\pi}{2}-1\right)

$$

すなわち

$$ y=x+\frac{a(4-\pi)}{2}

$$

である。

（2） この接線は $x$ 軸と

$$ 0=x+\frac{a(4-\pi)}{2}

$$

より

$$ x=\frac{a(\pi-4)}{2}=a\left(\frac{\pi}{2}-2\right)

$$

で交わる。

また、接点の $x$ 座標は $a\left(\frac{\pi}{2}-1\right)$ であるから、接線と $x$ 軸でできる三角形の底辺は

$$ a\left(\frac{\pi}{2}-1\right)-a\left(\frac{\pi}{2}-2\right)=a

$$

高さは $a$ である。よってその面積は

$$ \frac{1}{2}a\cdot a=\frac{a^2}{2}

$$

である。

次に、曲線 $C$ の $\theta=0$ から $\theta=\frac{\pi}{2}$ までの部分と $x$ 軸で囲まれる面積を求める。

$$ \begin{aligned} S_1=\int y,dx &= \int_0^{\pi/2} a(1-\cos\theta)\cdot a(1-\cos\theta),d\theta \end{aligned} $$

したがって

$$ \begin{aligned} S_1 &= a^2\int_0^{\pi/2}(1-\cos\theta)^2,d\theta \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} (1-\cos\theta)^2 &= 1-2\cos\theta+\cos^2\theta \end{aligned} $$

かつ

$$ \cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2}

$$

より

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}(1-\cos\theta)^2,d\theta &= \int_0^{\pi/2}\left(1-2\cos\theta+\frac{1+\cos2\theta}{2}\right),d\theta \\ &= \left[ \frac{3}{2}\theta-2\sin\theta+\frac{1}{4}\sin2\theta \right]_0^{\pi/2} \\ &= \frac{3\pi}{4}-2 \end{aligned} $$

となる。よって

$$

S_1=a^2\left(\frac{3\pi}{4}-2\right)

$$

である。

したがって、求める面積 $S$ は

$$

S=\frac{a^2}{2}-a^2\left(\frac{3\pi}{4}-2\right)

$$

すなわち

$$

S=a^2\left(\frac{5}{2}-\frac{3\pi}{4}\right) =\frac{a^2}{4}(10-3\pi)

$$

である。

解説

この問題の要点は、媒介変数表示の接線の傾きを

$$

\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}

$$

で求めることである。

また、面積については、いきなり複雑に考えるよりも、接線と $x$ 軸でできる三角形の面積から、曲線の下側の面積を引くと整理しやすい。

曲線の下側の面積は、媒介変数表示では

$$

\int y,dx=\int y\frac{dx}{d\theta},d\theta

$$

を用いるのが典型処理である。

答え

**(1)**

接線の方程式は

$$

y=x+\frac{a(4-\pi)}{2}

$$

である。

**(2)**

曲線 $C$、（1） で求めた接線、$x$ 軸で囲まれる図形の面積は

$$

\frac{a^2}{4}(10-3\pi)

$$

である。