解説

方針・初手

曲線 $y=c\cos x$ は、$y=\sin x$ と交わってから領域の内部に入り、点 $\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)$ で $x$ 軸に接する。したがって、$y=c\cos x$ によって切り取られる面積を $c$ の関数として表し、それが全体の面積の $\dfrac{1}{3}$、$\dfrac{2}{3}$ になるようにすればよい。

解法1

まず、もとの領域の面積は

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\sin x,dx &= [-\cos x]_0^{\pi/2} \\ 1 \end{aligned} $$

である。したがって、3等分された各部分の面積は $\dfrac{1}{3}$ である。

$0<c$ として、曲線 $y=c\cos x$ を考える。これは $y=\sin x$ と

$$ \sin x=c\cos x

$$

で交わる。$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では $\cos x\geqq 0$ なので、

$$ \tan x=c

$$

より、交点の $x$ 座標を

$$ t=\arctan c

$$

とおく。

この曲線 $y=c\cos x$ によって、もとの領域のうち左下側に切り取られる面積を $S(c)$ とする。この部分は、$0\leqq x\leqq t$ では上端が $y=\sin x$、$t\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では上端が $y=c\cos x$ であるから、

$$ \begin{aligned} S(c) &= \int_0^t \sin x,dx + \int_t^{\pi/2} c\cos x,dx \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} S(c) &= [-\cos x]_0^t + [c\sin x]_t^{\pi/2} \\ &= 1-\cos t+c(1-\sin t) \end{aligned}

$$

となる。

ここで $\tan t=c$ より、

$$ \sin t=\frac{c}{\sqrt{1+c^2}},\qquad \cos t=\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} S(c) &= 1-\frac{1}{\sqrt{1+c^2}} +c\left(1-\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\right) \\ &= 1+c-\frac{1+c^2}{\sqrt{1+c^2}} \\ &= 1+c-\sqrt{1+c^2} \end{aligned}

$$

である。

いま $0<a<b$ であるから、$y=a\cos x$ によって切り取られる左下側の面積が $\dfrac{1}{3}$、$y=b\cos x$ によって切り取られる左下側の面積が $\dfrac{2}{3}$ になればよい。

したがって

$$ S(a)=\frac{1}{3},\qquad S(b)=\frac{2}{3}

$$

を解く。

一般に

$$ 1+c-\sqrt{1+c^2}=r

$$

とおく。これを変形すると

$$ \sqrt{1+c^2}=1+c-r

$$

である。両辺を2乗して、

$$ 1+c^2=(1-r+c)^2

$$

より、

$$ 1+c^2=(1-r)^2+2c(1-r)+c^2

$$

となる。したがって

$$ 1=(1-r)^2+2c(1-r)

$$

であり、

$$ c=\frac{1-(1-r)^2}{2(1-r)}

$$

を得る。

まず $r=\dfrac{1}{3}$ のとき、

$$ \begin{aligned} a = \\ \frac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2}{2\cdot \dfrac{2}{3}} \\ \frac{1-\dfrac{4}{9}}{\dfrac{4}{3}} \\ \frac{\dfrac{5}{9}}{\dfrac{4}{3}} \\ \frac{5}{12} \end{aligned} $$

である。

次に $r=\dfrac{2}{3}$ のとき、

$$ \begin{aligned} b = \\ \frac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}{2\cdot \dfrac{1}{3}} \\ \frac{1-\dfrac{1}{9}}{\dfrac{2}{3}} \\ \frac{\dfrac{8}{9}}{\dfrac{2}{3}} \\ \frac{4}{3} \end{aligned} $$

である。

よって

$$ 0<\frac{5}{12}<\frac{4}{3}

$$

であり、条件 $0<a<b$ も満たす。

解説

この問題では、曲線 $y=c\cos x$ が領域をどのように切るかを正確に見ることが重要である。

$y=c\cos x$ は $x=\dfrac{\pi}{2}$ で必ず $0$ になるため、どの $c$ に対しても点 $\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)$ を通る。一方、$y=\sin x$ との交点は $\tan x=c$ で決まる。したがって、$c$ が大きくなるほど交点は右に移り、切り取られる左下側の面積 $S(c)$ は大きくなる。

2本の曲線で3等分されるので、内側から順に累積面積が

$$ \frac{1}{3},\qquad \frac{2}{3}

$$

になると考えるのが自然である。

答え

$$ a=\frac{5}{12},\qquad b=\frac{4}{3}

$$