解説

方針・初手

曲線の上下関係が変わる点は、2つの曲線

$$ y=\sin(x-\theta),\qquad y=\cos x

$$

の交点である。まず

$$ \sin(x-\theta)=\cos x

$$

を解き、その交点の間でどちらが上にあるかを調べて面積を積分する。

解法1

まず

$$ \cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)

$$

より、方程式

$$ \sin(x-\theta)=\cos x

$$

は

$$ \sin(x-\theta)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)

$$

と書ける。

したがって、整数 $k$ を用いて次の2通りを考える。

**(i)**

$$ x-\theta=\frac{\pi}{2}-x+2k\pi

$$

より、

$$ 2x=\theta+\frac{\pi}{2}+2k\pi

$$

であるから、

$$ x=\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}+k\pi

$$

となる。

**(ii)**

$$ x-\theta=\pi-\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+2k\pi

$$

より、

$$ x-\theta=\frac{\pi}{2}+x+2k\pi

$$

であるから、

$$ \theta=-\frac{\pi}{2}-2k\pi

$$

となる。しかし $0\leqq \theta\leqq \pi$ を満たすものはない。

よって解は

$$ x=\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}+k\pi

$$

に限られる。

ここで

$$ \alpha=\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}

$$

とおく。$0\leqq \theta\leqq \pi$ より、

$$ \frac{\pi}{4}\leqq \alpha\leqq \frac{3\pi}{4}

$$

である。

したがって、$-\pi\leqq x\leqq \pi$ に入る解は

$$ x=\alpha-\pi,\qquad x=\alpha

$$

の2つである。すなわち

$$ x=\frac{\theta}{2}-\frac{3\pi}{4},\qquad x=\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}

$$

である。

次に面積を求める。上下の差を

$$ D(x)=\cos x-\sin(x-\theta)

$$

とおく。

交点は $x=\alpha-\pi,\alpha$ であり、

$$ D(0)=1+\sin\theta>0

$$

である。また

$$ \alpha-\pi<0<\alpha

$$

が成り立つので、区間

$$ \alpha-\pi\leqq x\leqq \alpha

$$

で

$$ \sin(x-\theta)\leqq \cos x

$$

となる。

したがって、求める面積 $S(\theta)$ は

$$ S(\theta)=\int_{\alpha-\pi}^{\alpha}{\cos x-\sin(x-\theta)},dx

$$

である。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} S(\theta) &=\left[\sin x+\cos(x-\theta)\right]_{\alpha-\pi}^{\alpha} \\ &={\sin\alpha+\cos(\alpha-\theta)}-{\sin(\alpha-\pi)+\cos(\alpha-\pi-\theta)}. \end{aligned}

$$

ここで

$$ \sin(\alpha-\pi)=-\sin\alpha,\qquad \cos(\alpha-\pi-\theta)=-\cos(\alpha-\theta)

$$

より、

$$ S(\theta)=2\sin\alpha+2\cos(\alpha-\theta)

$$

となる。

また

$$ \alpha=\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}

$$

であるから、

$$ \alpha-\theta=\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}

$$

である。したがって

$$ \sin\alpha=\sin\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)

$$

かつ

$$ \cos(\alpha-\theta)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\right) =\sin\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)

$$

である。

よって

$$ S(\theta)=4\sin\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)

$$

となる。

ここで

$$ 0\leqq\theta\leqq\pi

$$

より、

$$ \frac{\pi}{4}\leqq \frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\leqq \frac{3\pi}{4}

$$

である。この範囲で $\sin t$ は $t=\dfrac{\pi}{2}$ のとき最大値 $1$ をとる。

したがって

$$ \frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}

$$

より、

$$ \theta=\frac{\pi}{2}

$$

である。

このとき

$$ S\left(\frac{\pi}{2}\right)=4

$$

である。

解説

この問題では、面積を直接考える前に、2つの曲線の交点を正確に求めることが重要である。

交点の $x$ 座標が

$$ x=\alpha-\pi,\qquad x=\alpha

$$

のように $\pi$ だけ離れているため、面積の積分区間がきれいに定まる。さらに、$x=0$ を代入して上下関係を判定すれば、余計な場合分けを避けられる。

面積 $S(\theta)$ は最終的に

$$ S(\theta)=4\sin\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)

$$

に整理されるので、あとは三角関数の最大値の問題になる。

答え

**(1)**

$$ x=\frac{\theta}{2}-\frac{3\pi}{4},\qquad x=\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}

$$

**(2)**

$$ S(\theta)=4\sin\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)

$$

であり、最大値は

$$ 4

$$

そのときの $\theta$ は

$$ \theta=\frac{\pi}{2}

$$

である。