解説

方針・初手

積分項は $x$ によらない定数であるから、

$$ I=\int_0^a f(t),dt

$$

とおくと、

$$ f(x)=x e^{-x/a}+\frac{I}{a+1}

$$

となる。したがって、まず両辺を $0$ から $a$ まで積分して $I$ を求めればよい。

また、$f(x)$ は $x e^{-x/a}$ に定数を加えた形であるから、$-1\le x\le 1$ における最大・最小は

$$ g(x)=x e^{-x/a}

$$

の増減を調べれば決まる。

解法1

まず

$$ I=\int_0^a f(t),dt

$$

とおくと、与式より

$$ f(x)=x e^{-x/a}+\frac{I}{a+1}

$$

である。これを $0$ から $a$ まで積分すると、

$$ I=\int_0^a t e^{-t/a},dt+\int_0^a \frac{I}{a+1},dt =\int_0^a t e^{-t/a},dt+\frac{aI}{a+1}

$$

となる。よって、

$$ I-\frac{aI}{a+1}=\int_0^a t e^{-t/a},dt

$$

すなわち

$$ \frac{I}{a+1}=\int_0^a t e^{-t/a},dt

$$

である。

ここで $t=au$ とおくと、

$$ \int_0^a t e^{-t/a},dt =a^2\int_0^1 u e^{-u},du

$$

となる。さらに

$$ \int u e^{-u},du=-(u+1)e^{-u}

$$

より、

$$ \int_0^1 u e^{-u},du =\left[-(u+1)e^{-u}\right]_0^1 =1-\frac{2}{e}

$$

である。したがって、

$$ \int_0^a t e^{-t/a},dt=a^2\left(1-\frac{2}{e}\right)

$$

となり、

$$ \frac{I}{a+1}=a^2\left(1-\frac{2}{e}\right)

$$

ゆえに

$$ I=a^2(a+1)\left(1-\frac{2}{e}\right)

$$

を得る。

よって $f(x)$ は

$$ f(x)=x e^{-x/a}+a^2\left(1-\frac{2}{e}\right)

$$

と表される。

次に、$-1\le x\le 1$ における最大値・最小値を求める。

$$ g(x)=x e^{-x/a}

$$

とおくと、

$$ g'(x)=e^{-x/a}\left(1-\frac{x}{a}\right)

$$

である。ここで $e^{-x/a}>0$ であるから、$g'(x)$ の符号は $1-\dfrac{x}{a}$ の符号で決まる。

**(i)**

$0<a\le 1$ のとき

このとき $x=a$ が区間 $[-1,1]$ に含まれる。しかも

$$ g'(x)>0 \quad (x<a),\qquad g'(x)<0 \quad (x>a)

$$

であるから、$g(x)$ は $x=a$ で最大となる。また最小は左端 $x=-1$ でとる。

したがって、

$$ g(a)=a e^{-1}=\frac{a}{e},\qquad g(-1)=-e^{1/a}

$$

より、

$$ \max f(x)=a^2\left(1-\frac{2}{e}\right)+\frac{a}{e}

$$

$$ \min f(x)=a^2\left(1-\frac{2}{e}\right)-e^{1/a}

$$

である。

**(ii)**

$a>1$ のとき

このとき区間 $[-1,1]$ 内では常に $x<a$ であるから、

$$ g'(x)=e^{-x/a}\left(1-\frac{x}{a}\right)>0

$$

となる。よって $g(x)$ は $[-1,1]$ で単調増加である。

したがって、最小は $x=-1$、最大は $x=1$ でとるから、

$$ g(-1)=-e^{1/a},\qquad g(1)=e^{-1/a}

$$

より、

$$ \max f(x)=a^2\left(1-\frac{2}{e}\right)+e^{-1/a}

$$

$$ \min f(x)=a^2\left(1-\frac{2}{e}\right)-e^{1/a}

$$

である。

解説

この問題の要点は、積分項が $x$ に依らない定数であることを見抜くことである。そこで積分全体を $I$ とおけば、与式は「関数の方程式」ではなく、実質的に定数決定問題になる。

また、最大値・最小値については、求めた $f(x)$ が $x e^{-x/a}$ に定数を加えた形になっているので、定数部分は極値の位置に影響しない。したがって、$x e^{-x/a}$ の導関数を調べるだけでよい。

答え

**(1)**

$$ \int_0^a f(t),dt=a^2(a+1)\left(1-\frac{2}{e}\right)

$$

**(2)**

$f(x)=x e^{-x/a}+a^2\left(1-\dfrac{2}{e}\right)$ であるから、$-1\le x\le 1$ における最大値・最小値は

$$ \min f(x)=a^2\left(1-\frac{2}{e}\right)-e^{1/a}

$$

であり、最大値は

$$ \max f(x)= \begin{cases} a^2\left(1-\dfrac{2}{e}\right)+\dfrac{a}{e} & (0<a\le 1),\\[1.2ex] a^2\left(1-\dfrac{2}{e}\right)+e^{-1/a} & (a>1) \end{cases}

$$

である。