解説

方針・初手

まず $f(x)$ を絶対値でまとめると、

$$ f(x)= \begin{cases} \dfrac{a-|x|}{a^2} & (|x|\leqq a),\\ 0 & (|x|>a) \end{cases}

$$

である。したがって $f(x)$ は偶関数であり、$\cos\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)$ も偶関数であるから、被積分関数は偶関数になる。

よって積分区間を $[0,1]$ に半減し、さらに $f(x)\neq 0$ となるのは $0\leqq x\leqq \min(a,1)$ の範囲だけであることを用いて計算する。

解法1

偶関数性より、

$$ F(a)=2\int_0^1 \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)f(x),dx =\frac{2}{a^2}\int_0^{\min(a,1)}(a-x)\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right),dx

$$

となる。

ここで

$$ \int (a-x)\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right),dx =\frac{2}{\pi}(a-x)\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)-\frac{4}{\pi^2}\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)

$$

であるから、$t=\min(a,1)$ とおくと、

$$ \begin{aligned} F(a) &=\frac{2}{a^2} \left[ \frac{2}{\pi}(a-x)\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) -\frac{4}{\pi^2}\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) \right]_0^t\\ &=\frac{4}{\pi a^2}(a-t)\sin\left(\frac{\pi t}{2}\right) +\frac{8}{\pi^2 a^2}\left(1-\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)\right). \end{aligned}

$$

以下、$a$ の範囲で場合分けする。

**(i)**

$0<a\leqq 1$ のとき

このとき $t=a$ であるから、

$$ F(a)=\frac{8}{\pi^2 a^2}\left(1-\cos\left(\frac{\pi a}{2}\right)\right).

$$

**(ii)**

$a\geqq 1$ のとき

このとき $t=1$ であり、$\sin\dfrac{\pi}{2}=1,\ \cos\dfrac{\pi}{2}=0$ より、

$$ \begin{aligned} F(a) &=\frac{4}{\pi a^2}(a-1)+\frac{8}{\pi^2 a^2}\\ &=\frac{4{\pi(a-1)+2}}{\pi^2 a^2}. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ F(a)= \begin{cases} \dfrac{8}{\pi^2 a^2}\left(1-\cos\left(\dfrac{\pi a}{2}\right)\right) & (0<a\leqq 1),\\[2mm] \dfrac{4(a-1)}{\pi a^2}+\dfrac{8}{\pi^2 a^2} & (a\geqq 1). \end{cases}

$$

次に極限を求める。

$\lim\limits_{a\to +0}F(a)$

$0<a\leqq 1$ の式を用いて、

$$ \begin{aligned} F(a) &=\frac{8}{\pi^2 a^2}\cdot 2\sin^2!\left(\frac{\pi a}{4}\right)\\ &=\frac{16}{\pi^2 a^2}\sin^2!\left(\frac{\pi a}{4}\right)\\ &=\left(\frac{\sin(\pi a/4)}{\pi a/4}\right)^2. \end{aligned}

$$

よって、

$$ \lim_{a\to +0}F(a)=1.

$$

$\lim\limits_{a\to \infty}aF(a)$

$a\geqq 1$ の式を用いて、

$$ aF(a)=\frac{4(a-1)}{\pi a}+\frac{8}{\pi^2 a}.

$$

したがって、

$$ \lim_{a\to \infty}aF(a)=\frac{4}{\pi}.

$$

解説

この問題の本質は、$f(x)$ が原点を中心とする三角形型の関数であり、しかも偶関数であることを見抜く点にある。これにより積分区間を半分にでき、さらに $f(x)$ の台が $[-a,a]$ であるため、実際の積分範囲が $[0,\min(a,1)]$ になる。

したがって、$a\leqq 1$ と $a\geqq 1$ で式が変わることが計算の要点である。極限では、$a\to +0$ では $\sin t/t\to 1$、$a\to\infty$ では主項が $\dfrac{4}{\pi a}$ になることを押さえればよい。

答え

**(1)**

$$ F(a)= \begin{cases} \dfrac{8}{\pi^2 a^2}\left(1-\cos\left(\dfrac{\pi a}{2}\right)\right) & (0<a\leqq 1),\\[2mm] \dfrac{4(a-1)}{\pi a^2}+\dfrac{8}{\pi^2 a^2} & (a\geqq 1). \end{cases}

$$

**(2)**

$$ \lim_{a\to +0}F(a)=1,\qquad \lim_{a\to \infty}aF(a)=\frac{4}{\pi}.

$$