解説

方針・初手

まず積分を具体的に計算して $f(x)$ を初等関数で表す。そうすると、増減・極値・凹凸がすぐ分かり、曲線の概形を決定できる。

接線の問題では、点 $(\alpha,f(\alpha))$ における接線の方程式を立て、その $x$ 切片と $y$ 切片を $\alpha$ で表してから極限を求める。

解法1

（1） まず $f(x)$ を求める。

$$ \begin{aligned} f(x) &=\int_0^x (x-t)e^{-t},dt \\ &=x\int_0^x e^{-t},dt-\int_0^x te^{-t},dt \\ &=x(1-e^{-x})-\left[-(t+1)e^{-t}\right]_0^x \\ &=x(1-e^{-x})-{1-(x+1)e^{-x}} \\ &=x-1+e^{-x}. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ f'(x)=1-e^{-x},\qquad f''(x)=e^{-x}>0

$$

である。

ここで $f''(x)>0$ より、曲線 $y=f(x)$ は全区間で下に凸である。

また、

• $x<0$ では $e^{-x}>1$ なので $f'(x)<0$
• $x=0$ では $f'(0)=0$
• $x>0$ では $f'(x)>0$

であるから、$x=0$ で極小値をとる。

さらに、

$$ f(0)=0

$$

より、極小点は $(0,0)$ である。

加えて、

$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}(x-1+e^{-x})=\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty

$$

であるから、曲線は左でも右でも上方へ伸びる。また $x\to\infty$ では

$$ f(x)-(x-1)=e^{-x}\to 0

$$

より、直線 $y=x-1$ に漸近する。

以上より、曲線 $y=f(x)$ は原点 $(0,0)$ で $x$ 軸に接し、そこを最小点とする下に凸の曲線である。左側では減少しながら原点へ近づき、右側では増加し、やがて直線 $y=x-1$ に近づく。

（2） 点 $(\alpha,f(\alpha))$ における接線の傾きは

$$ f'(\alpha)=1-e^{-\alpha}

$$

であるから、接線の方程式は

$$ y-f(\alpha)=f'(\alpha)(x-\alpha)

$$

である。

この接線の $x$ 軸との交点を $(X_1,0)$、$y$ 軸との交点を $(0,Y_1)$ とする。

まず $y=0$ を代入すると、

$$ -f(\alpha)=f'(\alpha)(X_1-\alpha)

$$

より、

$$ X_1=\alpha-\frac{f(\alpha)}{f'(\alpha)}.

$$

また $x=0$ を代入すると、

$$ Y_1=f(\alpha)-\alpha f'(\alpha).

$$

ここで

$$ f(\alpha)=\alpha-1+e^{-\alpha},\qquad f'(\alpha)=1-e^{-\alpha}

$$

を用いると、

$$ \begin{aligned} Y_1 &=\alpha-1+e^{-\alpha}-\alpha(1-e^{-\alpha}) \\ &=(\alpha+1)e^{-\alpha}-1, \end{aligned}

$$

また

$$ \begin{aligned} X_1 &=\alpha-\frac{\alpha-1+e^{-\alpha}}{1-e^{-\alpha}} \\ &=\frac{\alpha(1-e^{-\alpha})-(\alpha-1+e^{-\alpha})}{1-e^{-\alpha}} \\ &=\frac{1-(\alpha+1)e^{-\alpha}}{1-e^{-\alpha}}. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ Y_1=-(1-(\alpha+1)e^{-\alpha})

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{Y_1}{X_1} &= \frac{-(1-(\alpha+1)e^{-\alpha})}{\dfrac{1-(\alpha+1)e^{-\alpha}}{1-e^{-\alpha}}} =-(1-e^{-\alpha}) =e^{-\alpha}-1. \end{aligned} $$

ゆえに、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\alpha}\left(\frac{Y_1}{X_1}\right) &= \frac{e^{-\alpha}-1}{\alpha}. \end{aligned} $$

よって、

$$ \begin{aligned} \lim_{\alpha\to 0}\frac{1}{\alpha}\left(\frac{Y_1}{X_1}\right) &= \lim_{\alpha\to 0}\frac{e^{-\alpha}-1}{\alpha} =-1. \end{aligned} $$

解説

この問題の要点は、積分表示のまま考え続けるのではなく、まず

$$ f(x)=x-1+e^{-x}

$$

と具体化することである。すると、$f'(x)$ と $f''(x)$ から概形は機械的に決まる。

また、接線の切片を求める問題では、接線の方程式を立てて $x=0,\ y=0$ を代入するのが基本である。今回のように $X_1,\ Y_1$ をそれぞれ別に求めたあと、比 $\dfrac{Y_1}{X_1}$ が大きく簡単化することがあるので、最後まで整理することが重要である。

答え

**(1)**

$$ f(x)=x-1+e^{-x}

$$

であり、

$$ f'(x)=1-e^{-x},\qquad f''(x)=e^{-x}>0

$$

だから、曲線 $y=f(x)$ は全体に下に凸で、$x=0$ で極小値 $0$ をとる。すなわち原点 $(0,0)$ で $x$ 軸に接する。$(-\infty,0)$ で減少、$(0,\infty)$ で増加し、$x\to\infty$ では直線 $y=x-1$ に漸近する。

**(2)**

$$ \lim_{\alpha\to 0}\frac{1}{\alpha}\left(\frac{Y_1}{X_1}\right)=-1

$$