解説

方針・初手

積の各因子は

$$ 3n,\ 3n-2,\ 3n-4,\ \dots,\ n+4,\ n+2

$$

であり、これは

$$ n+2,\ n+4,\ \dots,\ 3n

$$

と同じものである。したがって、まず積を添字で書き直し、$n$ をくくり出して $n$ 乗根と $\dfrac1n$ を処理する。

その後、対数を取れば和に直せるので、リーマン和に持ち込める。

解法1

与えられた式を

$$ L_n=\frac1n\sqrt[n]{3n(3n-2)(3n-4)\cdots(n+4)(n+2)}

$$

とおく。

積の因子は $n+2,n+4,\dots,3n$ であるから、

$$ L_n=\frac1n\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}(n+2k)}

$$

と書ける。

ここで各因子から $n$ をくくり出すと、

$$ \prod_{k=1}^{n}(n+2k) =n^n\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{2k}{n}\right)

$$

である。よって

$$ L_n =\frac1n\sqrt[n]{n^n\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{2k}{n}\right)} =\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{2k}{n}\right)}

$$

となる。

そこで対数を取ると、

$$ \log L_n =\frac1n\sum_{k=1}^{n}\log\left(1+\frac{2k}{n}\right)

$$

を得る。これは区間 $[0,1]$ におけるリーマン和であるから、

$$ \lim_{n\to\infty}\log L_n =\int_0^1 \log(1+2x),dx

$$

である。

この積分を計算する。$u=1+2x$ とおくと $du=2dx$ より、

$$ \int_0^1 \log(1+2x),dx =\frac12\int_1^3 \log u,du

$$

であり、

$$ \int \log u,du=u\log u-u

$$

だから、

$$ \frac12\int_1^3 \log u,du =\frac12\left[(u\log u-u)\right]_1^3 =\frac12{(3\log 3-3)-(-1)} =\frac{3\log 3-2}{2}

$$

となる。

したがって、

$$ \lim_{n\to\infty}\log L_n=\frac{3\log 3-2}{2}

$$

であるから、

$$ \lim_{n\to\infty}L_n =\exp\left(\frac{3\log 3-2}{2}\right) =3^{3/2}e^{-1} =\frac{3\sqrt3}{e}

$$

となる。

解説

$\dfrac1n\sqrt[n]{\text{積}}$ の形では、各因子から $n$ をくくり出すのが基本である。すると全体が「積の $n$ 乗根」になり、対数を取れば平均の形に直る。

本問では

$$ \frac1n\sum_{k=1}^{n}\log\left(1+\frac{2k}{n}\right)

$$

がそのままリーマン和になることが本質である。積の極限を直接扱おうとすると見通しが悪いが、対数を取ることで標準的な積分の問題に帰着する。

答え

$$ \frac{3\sqrt3}{e}

$$