解説

方針・初手

(1) は $\log y$ と直線 $y-1$ の大小比較であり、差をとって最小値を調べるのが自然である。

(2) は、証明したい不等式を

$$ \int_0^1 f(x)\log g(x),dx \leqq \int_0^1 f(x)\log f(x),dx

$$

と見て、左辺から右辺を引くと

$$ \int_0^1 f(x)\log \frac{g(x)}{f(x)},dx

$$

が現れる。したがって、(1) を $y=\dfrac{g(x)}{f(x)}$ に適用する。

解法1

まず (1) を証明する。

$y>0$ に対して

$$ \phi(y)=y-1-\log y

$$

とおく。このとき

$$ \phi'(y)=1-\frac{1}{y}=\frac{y-1}{y}

$$

である。

$y>0$ なので、$0<y<1$ では $\phi'(y)<0$、$y>1$ では $\phi'(y)>0$ である。したがって、$\phi(y)$ は $0<y<1$ で減少し、$y>1$ で増加する。

また

$$ \phi(1)=1-1-\log 1=0

$$

であるから、$\phi(y)$ は $y=1$ で最小値 $0$ をとる。よって、すべての $y>0$ に対して

$$ y-1-\log y \geqq 0

$$

すなわち

$$ \log y \leqq y-1

$$

が成り立つ。

次に (2) を示す。

条件 (A) より、$0\leqq x\leqq 1$ において $f(x)>0,\ g(x)>0$ であるから、

$$ \frac{g(x)}{f(x)}>0

$$

である。したがって、(1) を

$$ y=\frac{g(x)}{f(x)}

$$

に適用できる。

すると

$$ \log \frac{g(x)}{f(x)} \leqq \frac{g(x)}{f(x)}-1

$$

が成り立つ。ここで $f(x)>0$ であるから、両辺に $f(x)$ をかけても不等号の向きは変わらない。よって

$$ f(x)\log \frac{g(x)}{f(x)} \leqq g(x)-f(x)

$$

を得る。

左辺を展開すると

$$ \begin{aligned} f(x)\log \frac{g(x)}{f(x)} &= f(x){\log g(x)-\log f(x)} \\ f(x)\log g(x)-f(x)\log f(x) \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ f(x)\log g(x)-f(x)\log f(x) \leqq g(x)-f(x)

$$

である。これを $0$ から $1$ まで積分すると

$$ \int_0^1 f(x)\log g(x),dx-\int_0^1 f(x)\log f(x),dx \leqq \int_0^1 g(x),dx-\int_0^1 f(x),dx

$$

となる。

条件 (B) より

$$ \int_0^1 f(x),dx=\int_0^1 g(x),dx=1

$$

であるから、右辺は

$$ \int_0^1 g(x),dx-\int_0^1 f(x),dx=1-1=0

$$

となる。よって

$$ \int_0^1 f(x)\log g(x),dx-\int_0^1 f(x)\log f(x),dx \leqq 0

$$

すなわち

$$ \int_0^1 f(x)\log g(x),dx \leqq \int_0^1 f(x)\log f(x),dx

$$

が示された。

解説

この問題の核心は、(1) の不等式をそのまま使うために、どの量を $y$ と見るかである。

証明したい不等式の両辺の差を考えると、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 f(x)\log g(x),dx-\int_0^1 f(x)\log f(x),dx &= \int_0^1 f(x)\log \frac{g(x)}{f(x)},dx \end{aligned} $$

となる。ここから $y=\dfrac{g(x)}{f(x)}$ とおく発想が出る。

また、$f(x)>0,\ g(x)>0$ という条件は、$\log f(x),\log g(x)$ および $\log \dfrac{g(x)}{f(x)}$ を定義するために必要である。さらに、$f(x)>0$ は不等式に $f(x)$ をかけるとき、不等号の向きを変えないためにも使われている。

条件

$$ \int_0^1 f(x),dx=\int_0^1 g(x),dx=1

$$

は、最後に

$$ \int_0^1 {g(x)-f(x)},dx=0

$$

とするために使う。

答え

**(1)**

$y>0$ に対して $\log y\leqq y-1$ が成り立つ。

**(2)**

条件 (A), (B) のもとで

$$ \int_0^1 f(x)\log g(x),dx \leqq \int_0^1 f(x)\log f(x),dx

$$

が成り立つ。