解説

方針・初手

媒介変数 $\theta$ を消去するには、三角関数の基本恒等式

$$ 1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}

$$

を用いる。これにより $y$ を $x$ の式で表せる。変曲点は、求めた関数の第2次導関数の符号変化で判定する。

解法1

$x=\tan\theta$ より、$-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ の範囲で $x$ はすべての実数値をとる。

三角関数の恒等式

$$ 1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}

$$

より、

$$ \cos^2\theta=\frac{1}{1+\tan^2\theta}

$$

である。したがって、$x=\tan\theta$ を代入すると

$$ y=\frac{1}{1+x^2}

$$

となる。

次に、このグラフの変曲点を求める。$y=\dfrac{1}{1+x^2}$ とおくと、

$$ y'=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}

$$

である。さらに微分して、

$$ \begin{aligned} y'' &=-2(1+x^2)^{-2}+8x^2(1+x^2)^{-3} \\ &=\frac{-2(1+x^2)+8x^2}{(1+x^2)^3} \\ &=\frac{2(3x^2-1)}{(1+x^2)^3} \end{aligned}

$$

となる。

ここで $(1+x^2)^3>0$ であるから、$y''$ の符号は $3x^2-1$ の符号で決まる。

$$ 3x^2-1=0

$$

より、

$$ x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}

$$

である。この前後で $3x^2-1$ の符号は変化するため、これらは変曲点である。

対応する $y$ 座標は

$$ y=\frac{1}{1+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} =\frac{1}{1+\frac{1}{3}} =\frac{3}{4}

$$

である。したがって、変曲点は

$$ \left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{3}{4}\right),\quad \left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{3}{4}\right)

$$

である。

最後に面積 $S$ を求める。右側の変曲点

$$ \left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{3}{4}\right)

$$

を通る $y$ 軸に平行な直線は

$$ x=\frac{1}{\sqrt{3}}

$$

である。

曲線 $y=\dfrac{1}{1+x^2}$ は $x$ 軸を漸近線にもつので、求める面積は広義積分で

$$ S=\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\infty}\frac{1}{1+x^2},dx

$$

と表される。

よって、

$$ \begin{aligned} S &=\lim_{b\to\infty}\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{b}\frac{1}{1+x^2},dx \\ &=\lim_{b\to\infty}\left[\tan^{-1}x\right]_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{b} \\ &=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6} \\ &=\frac{\pi}{3} \end{aligned}

$$

である。

左側の変曲点を通る直線 $x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ についても、曲線は $y$ 軸に関して対称であるから、囲まれる部分の面積は同じく

$$ S=\frac{\pi}{3}

$$

である。

解説

この問題では、媒介変数表示を見たときに $\tan\theta$ と $\cos^2\theta$ の関係に気づくことが初手である。恒等式 $1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$ を使えば、すぐに $y=\dfrac{1}{1+x^2}$ が得られる。

変曲点は $y''=0$ だけでなく、その前後で $y''$ の符号が変化することを確認する必要がある。今回は分母が常に正なので、符号判定は $3x^2-1$ だけを見ればよい。

面積については、曲線が $x$ 軸に接するのではなく、$x$ 軸を漸近線にもつ点が重要である。そのため面積は通常の定積分ではなく、無限区間の広義積分として計算する。

答え

**(1)**

$$ y=\frac{1}{1+x^2}

$$

**(2)**

$$ \left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{3}{4}\right),\quad \left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{3}{4}\right)

$$

**(3)**

$$ S=\frac{\pi}{3}

$$