解説

方針・初手

$x$ 軸に接するという条件は、接点で $y=0$ となり、かつ接線の傾き $\dfrac{dy}{dx}$ が $0$ になることを意味する。 したがって、まず媒介変数表示を微分して接点の条件を立てれば $\alpha$ が決まる。

その後、$\alpha$ を代入した曲線 $C$ と 2 直線 $y=0,\ y=x$ との交点を調べ、囲まれた部分の面積を媒介変数 $t$ を用いて積分する。

解法1

**(1)**

$\alpha$ の値を求める。

曲線 $C$ は

$$ x=t+e^{\alpha t},\qquad y=-t+e^{\alpha t}

$$

で与えられるから、

$$ \frac{dx}{dt}=1+\alpha e^{\alpha t},\qquad \frac{dy}{dt}=-1+\alpha e^{\alpha t}

$$

である。

$x$ 軸に接する点を媒介変数 $t=t_0$ に対応する点とすると、その点では

$$ y=0,\qquad \frac{dy}{dx}=0

$$

が成り立つ。

まず $y=0$ より

$$ -t_0+e^{\alpha t_0}=0

$$

すなわち

$$ e^{\alpha t_0}=t_0

$$

である。

また $\dfrac{dy}{dx}=0$ であるためには $\dfrac{dy}{dt}=0$ であればよいから、

$$ -1+\alpha e^{\alpha t_0}=0

$$

すなわち

$$ \alpha e^{\alpha t_0}=1

$$

である。

ここで $e^{\alpha t_0}=t_0$ を代入すると

$$ \alpha t_0=1

$$

を得る。よって

$$ e^{\alpha t_0}=e^1=e

$$

であるから、

$$ t_0=e

$$

となる。さらに $\alpha t_0=1$ に代入して

$$ \alpha=\frac{1}{e}

$$

を得る。

（2） 囲まれた部分の面積を求める。

以後 $\alpha=\dfrac1e$ とすると、曲線 $C$ は

$$ x=t+e^{t/e},\qquad y=-t+e^{t/e}

$$

となる。

まず交点を調べる。

曲線上では

$$ x-y=2t

$$

であるから、直線 $y=x$ との交点は $x-y=0$ より $t=0$ のときであり、

$$ (t=0)\quad \Rightarrow\quad (x,y)=(1,1)

$$

である。

また $y=0$ との交点は （1） で求めた接点であり、$t=e$ のとき

$$ (x,y)=(2e,0)

$$

である。

さらに 2 直線 $y=0,\ y=x$ の交点は $(0,0)$ である。

したがって、求める部分は $(0,0)$ から $(1,1)$ までの直線 $y=x$、 $(1,1)$ から $(2e,0)$ までの曲線 $C$、 $(2e,0)$ から $(0,0)$ までの $x$ 軸 で囲まれる。

ここで $0\le t\le e$ では

$$ x-y=2t\ge 0

$$

であるから曲線は直線 $y=x$ の右側にある。また

$$ y'(t)=-1+\frac1e e^{t/e}

$$

であり、$0\le t\le e$ では $e^{t/e}\le e$ だから

$$ y'(t)\le 0

$$

となる。よってこの区間で $y$ は $1$ から $0$ へ単調に減少する。

したがって、面積 $S$ は

$$ S=\int_0^1 \bigl(x_{\mathrm C}-y\bigr),dy

$$

である。これを媒介変数 $t$ で表すと、$y$ が減少していることに注意して

$$ S=-\int_0^e \bigl(x(t)-y(t)\bigr)y'(t),dt

$$

となる。

ここで

$$ x(t)-y(t)=2t,\qquad y'(t)=-1+\frac1e e^{t/e}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} S &=-\int_0^e 2t\left(-1+\frac1e e^{t/e}\right),dt \\ &=\int_0^e 2t,dt-\frac{2}{e}\int_0^e t e^{t/e},dt \end{aligned}

$$

を得る。

第1項は

$$ \int_0^e 2t,dt=e^2

$$

である。

第2項について、$u=\dfrac{t}{e}$ とおくと $t=eu,\ dt=e,du$ であるから

$$ \begin{aligned} \int_0^e t e^{t/e},dt &=e^2\int_0^1 u e^u,du \\ &=e^2\left[(u-1)e^u\right]_0^1 \\ &=e^2 \end{aligned}

$$

となる。よって

$$ S=e^2-\frac{2}{e}\cdot e^2=e^2-2e

$$

である。

解説

この問題の要点は、媒介変数表示のまま扱うことである。

$x$ 軸に接する条件を、接点で $y=0$ かつ $\dfrac{dy}{dx}=0$ と読めるかどうかが （1） の核心である。 また （2） では、曲線を $x=f(y)$ の形に直そうとすると難しいが、媒介変数のまま

$$ x-y=2t

$$

を用いると、横幅が非常に簡潔に表せる。 さらに $0\le t\le e$ で $y$ が単調減少することを確認すれば、面積をそのまま積分で処理できる。

答え

**(1)**

$$ \alpha=\frac{1}{e}

$$

**(2)**

囲まれた部分の面積は

$$ e^2-2e

$$

である。