解説

方針・初手

関数 $f(x)=4e^{-(x-3)^2}$ は $x=3$ を軸とする左右対称な山型の関数である。

まず微分して曲線の概形を調べる。面積 $S(t)$ については

$$ S(t)=\int_t^{t+1}4e^{-(x-3)^2},dx

$$

と表し、積分区間の両端が動く関数として微分する。

解法1

$f(x)=4e^{-(x-3)^2}$ とおく。

まず導関数は

$$ f'(x)=-8(x-3)e^{-(x-3)^2}

$$

である。指数部分 $e^{-(x-3)^2}$ は常に正であるから、$f'(x)$ の符号は $-(x-3)$ の符号で決まる。

したがって

$$ \begin{cases} f'(x)>0 & (x<3),\\ f'(x)=0 & (x=3),\\ f'(x)<0 & (x>3) \end{cases}

$$

となる。よって $x=3$ で極大となり、その値は

$$ f(3)=4

$$

である。極小値は存在しない。

次に変曲点を調べる。第2次導関数は

$$ f''(x)=8{2(x-3)^2-1}e^{-(x-3)^2}

$$

である。これが $0$ となるのは

$$ 2(x-3)^2-1=0

$$

より

$$ x=3\pm\frac{1}{\sqrt2}

$$

である。

また、$e^{-(x-3)^2}>0$ なので、$f''(x)$ の符号は $2(x-3)^2-1$ の符号で決まる。したがって

$$ \begin{cases} f''(x)>0 & \left(x<3-\frac{1}{\sqrt2},\ x>3+\frac{1}{\sqrt2}\right),\\ f''(x)<0 & \left(3-\frac{1}{\sqrt2}<x<3+\frac{1}{\sqrt2}\right) \end{cases}

$$

となり、$x=3\pm\frac{1}{\sqrt2}$ で凹凸が変わる。

よって変曲点は

$$ \left(3-\frac{1}{\sqrt2},4e^{-1/2}\right),\quad \left(3+\frac{1}{\sqrt2},4e^{-1/2}\right)

$$

である。

したがって、曲線は $x=3$ に関して対称で、点 $(3,4)$ で最大となり、左右に進むにつれて $x$ 軸に近づく。さらに、上に凸から下に凸へ、また下に凸から上に凸へ変わる点が上の2点である。

次に $S(t)$ を調べる。

$$ S(t)=\int_t^{t+1}4e^{-(x-3)^2},dx

$$

であるから、積分区間の端点に注意して微分すると

$$ S'(t)=f(t+1)-f(t)

$$

である。

ここで

$$ f(t+1)=4e^{-(t-2)^2},\quad f(t)=4e^{-(t-3)^2}

$$

だから、

$$ S'(t)=0

$$

は

$$ 4e^{-(t-2)^2}=4e^{-(t-3)^2}

$$

すなわち

$$ (t-2)^2=(t-3)^2

$$

と同値である。これを解くと

$$ t=\frac52

$$

である。

さらに、$S'(t)$ の符号を調べる。

$$ S'(t)>0

$$

は

$$ e^{-(t-2)^2}>e^{-(t-3)^2}

$$

と同値であり、指数関数の単調性より

$$ (t-2)^2<(t-3)^2

$$

と同値である。これを整理すると

$$ t<\frac52

$$

となる。

したがって

$$ \begin{cases} S'(t)>0 & \left(t<\frac52\right),\\ S'(t)=0 & \left(t=\frac52\right),\\ S'(t)<0 & \left(t>\frac52\right) \end{cases}

$$

である。よって $S(t)$ は $t=\frac52$ で最大となる。

このとき

$$ S_0=S\left(\frac52\right)=\int_{5/2}^{7/2}4e^{-(x-3)^2},dx

$$

である。

まず、すべての $x$ に対して

$$ 0<e^{-(x-3)^2}\leqq 1

$$

であり、等号は $x=3$ のときだけ成り立つ。したがって

$$ 4e^{-(x-3)^2}\leqq 4

$$

である。区間の長さは $1$ であり、$f(x)=4$ となるのは一点だけなので、

$$ S_0<\int_{5/2}^{7/2}4,dx=4

$$

である。

次に下から評価する。$5/2\leqq x\leqq 7/2$ では

$$ -\frac12\leqq x-3\leqq \frac12

$$

であるから、

$$ (x-3)^2\leqq \frac14

$$

である。よって

$$ e^{-(x-3)^2}\geqq e^{-1/4}

$$

となる。したがって

$$ S_0>\int_{5/2}^{7/2}4e^{-1/4},dx=4e^{-1/4}

$$

である。

ここで、指数関数の基本不等式 $e^u>1+u\ (u\ne 0)$ に $u=-\frac14$ を代入すると

$$ e^{-1/4}>1-\frac14=\frac34

$$

である。したがって

$$ 4e^{-1/4}>3

$$

となる。

以上より

$$ 3<S_0<4

$$

が示された。

解説

この問題の中心は、$f(x)$ が $x=3$ を中心に左右対称な山型の関数であることに気づく点である。

$S(t)$ は幅 $1$ の縦長の帯で曲線下の面積を切り取る量である。山の頂点 $x=3$ を中心にして区間を置くと面積が最大になるので、直感的には区間 $[t,t+1]$ の中心が $3$ になる場合、すなわち $t=\frac52$ が最大である。

ただし、解答では直感だけでなく

$$ S'(t)=f(t+1)-f(t)

$$

を用いて、増減を正確に調べるのが安全である。

また、$S_0$ の評価では、積分を正確に計算する必要はない。最大値 $4$ と区間の長さ $1$ から上限を出し、区間内での最小値 $4e^{-1/4}$ から下限を出すのが要点である。

答え

**(1)**

極大点は

$$ (3,4)

$$

であり、極小点は存在しない。

変曲点は

$$ \left(3-\frac{1}{\sqrt2},4e^{-1/2}\right),\quad \left(3+\frac{1}{\sqrt2},4e^{-1/2}\right)

$$

である。

**(2)**

$S(t)$ を最大にするのは

$$ t=\frac52

$$

である。したがって、対応する2直線は

$$ x=\frac52,\quad x=\frac72

$$

である。

**(3)**

最大値 $S_0$ は

$$ 3<S_0<4

$$

を満たす。