解説

方針・初手

求める面積は、$f(x) \geqq 0$ となる区間での定積分である。まず $f(x)$ の符号を調べ、面積を表す積分区間を決める。

その後、$\log x$ を含むため、$t=\log x$ とおくと計算が簡単になる。

解法1

関数は

$$ f(x)=\left(\frac{e}{x^a}-1\right)\frac{\log x}{x}

$$

である。ここで $x>0,\ a>0$ である。

$f(x)$ の符号を調べる。$x>0$ より $\dfrac{1}{x}>0$ であるから、符号は

$$ \left(\frac{e}{x^a}-1\right)\log x

$$

で決まる。

まず、

$$ \frac{e}{x^a}-1>0

$$

は

$$ x^a<e

$$

と同値である。$a>0$ だから、これは

$$ x<e^{1/a}

$$

である。

また、

$$ \log x>0

$$

は

$$ x>1

$$

と同値である。

したがって、$f(x)\geqq 0$ となるのは

$$ 1\leqq x\leqq e^{1/a}

$$

である。よって求める面積 $S$ は

$$ S=\int_1^{e^{1/a}}\left(\frac{e}{x^a}-1\right)\frac{\log x}{x},dx

$$

である。

ここで

$$ t=\log x

$$

とおくと、

$$ dt=\frac{1}{x},dx

$$

であり、また

$$ x^a=e^{at}

$$

だから

$$ \frac{e}{x^a}=e^{1-at}

$$

となる。

積分区間は、$x=1$ のとき $t=0$、$x=e^{1/a}$ のとき $t=\dfrac{1}{a}$ である。したがって

$$ S=\int_0^{1/a}\left(e^{1-at}-1\right)t,dt

$$

となる。

これを計算する。

$$ S=\int_0^{1/a}t e^{1-at},dt-\int_0^{1/a}t,dt

$$

第1項について、$u=at$ とおくと、$t=\dfrac{u}{a}$、$dt=\dfrac{du}{a}$ であり、積分区間は $0$ から $1$ になる。よって

$$ \begin{aligned} \int_0^{1/a}t e^{1-at},dt &= \frac{e}{a^2}\int_0^1u e^{-u},du \end{aligned} $$

である。ここで部分積分により

$$ \int u e^{-u},du=-(u+1)e^{-u}

$$

だから、

$$ \begin{aligned} \int_0^1u e^{-u},du &= \left[-(u+1)e^{-u}\right]_0^1 \\ -\frac{2}{e}+1 \\ 1-\frac{2}{e} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \int_0^{1/a}t e^{1-at},dt &= \frac{e}{a^2}\left(1-\frac{2}{e}\right) \\ \frac{e-2}{a^2} \end{aligned} $$

となる。

また、

$$ \begin{aligned} \int_0^{1/a}t,dt &= \left[\frac{t^2}{2}\right]_0^{1/a} \\ \frac{1}{2a^2} \end{aligned} $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} S = \\ \frac{e-2}{a^2}-\frac{1}{2a^2} \\ \frac{2e-5}{2a^2} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、面積を求める前に、まず $f(x)$ が正になる区間を正確に決めることが重要である。

$f(x)$ は $\log x$ と $\dfrac{e}{x^a}-1$ の積を含むため、それぞれの符号が変わる点 $x=1$、$x=e^{1/a}$ が境界になる。実際に正となるのは $1<x<e^{1/a}$ のみである。

また、積分では $\log x$ が現れるため、$t=\log x$ とおくのが自然である。この置換により $\dfrac{dx}{x}=dt$ となり、積分が指数関数と1次式の積の形に整理される。

答え

$$ \frac{2e-5}{2a^2}

$$