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数学3 積分法「定積分・面積」の問題39 解説

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数学3積分法定積分・面積問題39

解説

被積分関数 $x e^x$ は、$e^x$ を含む積の形であり、原始関数を

$$ (x-1)e^x

の形で予想すると微分がきれいに合う。まずはその原始関数を確認してから、定積分を計算する。

$$ \frac{d}{dx}{(x-1)e^x}=e^x+(x-1)e^x=xe^x

したがって、

$$ \int x e^x,dx=(x-1)e^x+C

である。

よって、求める定積分は

$$ \int_0^1 x e^x,dx=\left[(x-1)e^x\right]_0^1

となる。これを計算すると、

$$ \left[(x-1)e^x\right]_0^1=(1-1)e^1-(0-1)e^0=0-(-1)=1

したがって、

$$ \int_0^1 x e^x,dx=1

である。

この問題では、部分積分を使っても解けるが、$xe^x$ の原始関数を直接見つけられると最も速い。

実際、

$$ (x-1)e^x

を微分すると $xe^x$ になるので、積分計算が一気に終わる。指数関数を含む積分では、$e^x$ をくくった形の原始関数を予想する発想が有効である。

$$ \int_0^1 x e^x,dx=1