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数学3 積分法「定積分・面積」の問題40 解説

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数学3積分法定積分・面積問題40

解説

$x\sin x$ の積分であるから、$x$ を微分し $\sin x$ を積分する部分積分を用いるのが自然である。

部分積分

$$ \int f(x)g'(x),dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x),dx

を

$$ f(x)=x,\qquad g'(x)=\sin x

として用いる。

このとき

$$ f'(x)=1,\qquad g(x)=-\cos x

であるから、

$$ \int_0^\pi x\sin x,dx =\left[-x\cos x\right]_0^\pi+\int_0^\pi \cos x,dx

となる。

さらに

$$ \int_0^\pi \cos x,dx=\left[\sin x\right]_0^\pi=0

であるから、

$$ \int_0^\pi x\sin x,dx =\left[-x\cos x\right]_0^\pi

ここで

$$ \left[-x\cos x\right]_0^\pi =-\pi\cos\pi-0\cdot\cos0 =-\pi(-1)-0 =\pi

よって、

$$ \int_0^\pi x\sin x,dx=\pi

である。

この問題は部分積分の基本問題である。多項式と三角関数の積では、多項式側を微分すると次数が下がって簡単になるため、$x$ を微分する方針が有効である。

$$ \pi