基礎問題集

数学3 積分法「定積分・面積」の問題41 解説

数学3の積分法「定積分・面積」にある問題41の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。

MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。

数学3積分法定積分・面積問題41

解説

分母が $1+x^2$、分子がその微分の定数倍である $x$ になっているので、対数型の積分であると見抜くのが初手である。

したがって、$u=1+x^2$ と置換するか、$\dfrac{d}{dx}\log(1+x^2)=\dfrac{2x}{1+x^2}$ を用いて処理すればよい。

求める積分を

$$ I=\int_0^1 \frac{x}{1+x^2},dx

とする。

ここで

$$ u=1+x^2

とおくと、

$$ du=2x,dx

より

$$ x,dx=\frac12,du

である。

また、積分区間は $x=0$ のとき $u=1$、$x=1$ のとき $u=2$ となるから、

$$ I=\frac12\int_1^2 \frac{1}{u},du

となる。

したがって、

$$ I=\frac12\left[\log u\right]_1^2 =\frac12(\log 2-\log 1)

である。ここで $\log 1=0$ なので、

$$ I=\frac12\log 2

を得る。

この問題の要点は、分母 $1+x^2$ の微分が $2x$ であり、分子の $x$ とほぼ一致していることに気づくことである。

この形は

$$ \int \frac{f'(x)}{f(x)},dx=\log|f(x)|+C

の典型形である。したがって、無理に部分分数分解などを考える必要はなく、分母をそのまま置換すれば一気に処理できる。

$$ \int_0^1 \frac{x}{1+x^2},dx=\frac12\log 2