基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題42 解説
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解説
方針・初手
被積分関数 $ \dfrac{1}{1+x^2} $ の原始関数は逆三角関数 $ \arctan x $ である。したがって、そのまま不定積分して端点 $0,1$ を代入すればよい。
解法1
次を用いる。
$$ \frac{d}{dx}(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}
$$
よって、
$$ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{1}{1+x^2},dx &= \left[\arctan x\right]_0^1 \end{aligned} $$
であるから、
$$ \begin{aligned} \left[\arctan x\right]_0^1 &= \arctan 1-\arctan 0 \\ \frac{\pi}{4}-0 \\ \frac{\pi}{4} \end{aligned} $$
したがって、求める値は
$$ \frac{\pi}{4}
$$
である。
解法2
$ x=\tan \theta $ とおくと、
$$ dx=\sec^2\theta,d\theta,\qquad 1+x^2=1+\tan^2\theta=\sec^2\theta
$$
となる。
また、積分区間は
$$ x=0 \Rightarrow \theta=0,\qquad x=1 \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}
$$
である。
したがって、
$$ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{1}{1+x^2},dx &= \int_0^{\pi/4} \frac{1}{\sec^2\theta}\sec^2\theta,d\theta \\ \int_0^{\pi/4} 1,d\theta \\ \left[\theta\right]_0^{\pi/4} \\ \frac{\pi}{4} \end{aligned} $$
解説
$ \dfrac{1}{1+x^2} $ を見たら、まず $ \arctan x $ を連想できるかが重要である。高校数学では基本的な不定積分の形の1つであり、最短で処理できる。
一方で、$1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$ を使う三角置換でも処理できる。この問題では解法1が最も自然である。
答え
$$ \frac{\pi}{4}
$$