解説

方針・初手

積分核

$$ \cos(t-x)=\cos t\cos x+\sin t\sin x

$$

を用いると，右辺は $\cos x,\sin x$ の一次結合になる。したがって，$f(x)$ 自身も $\cos x,\sin x$ の一次結合でなければならない。

そこでまず $f(x)$ の形を決め，その後に係数比較を行う。

解法1

与えられた関係式は

$$ f(x)=\alpha\int_0^{\pi/2}f(t)\cos(t-x),dt

$$

である。

加法定理より

$$ \cos(t-x)=\cos t\cos x+\sin t\sin x

$$

だから，

$$ f(x) =\alpha\int_0^{\pi/2}f(t)\bigl(\cos t\cos x+\sin t\sin x\bigr),dt

$$

$$ =\alpha\left(\int_0^{\pi/2}f(t)\cos t,dt\right)\cos x +\alpha\left(\int_0^{\pi/2}f(t)\sin t,dt\right)\sin x

$$

となる。よって $f(x)$ は $\cos x,\sin x$ の一次結合であり，

$$ f(x)=p\cos x+q\sin x

$$

と書ける。ただし $p,q$ は実数であり，$f$ は $0$ でないから $(p,q)\neq(0,0)$ である。

これを右辺に代入する。

まず

$$ \int_0^{\pi/2}f(t)\cos t,dt =\int_0^{\pi/2}(p\cos t+q\sin t)\cos t,dt

$$

$$ =p\int_0^{\pi/2}\cos^2 t,dt+q\int_0^{\pi/2}\sin t\cos t,dt

$$

ここで

$$ \int_0^{\pi/2}\cos^2 t,dt=\frac{\pi}{4},\qquad \int_0^{\pi/2}\sin t\cos t,dt=\frac12

$$

より，

$$ \int_0^{\pi/2}f(t)\cos t,dt=\frac{\pi}{4}p+\frac12 q

$$

同様に

$$ \int_0^{\pi/2}f(t)\sin t,dt =\int_0^{\pi/2}(p\cos t+q\sin t)\sin t,dt

$$

$$ =p\int_0^{\pi/2}\sin t\cos t,dt+q\int_0^{\pi/2}\sin^2 t,dt =\frac12 p+\frac{\pi}{4}q

$$

である。したがって

$$ f(x)=\alpha\left(\frac{\pi}{4}p+\frac12 q\right)\cos x +\alpha\left(\frac12 p+\frac{\pi}{4}q\right)\sin x

$$

一方 $f(x)=p\cos x+q\sin x$ だから，係数比較により

$$ \begin{cases} p=\alpha\left(\dfrac{\pi}{4}p+\dfrac12 q\right),\\[1ex] q=\alpha\left(\dfrac12 p+\dfrac{\pi}{4}q\right) \end{cases}

$$

を得る。すなわち

$$ \begin{cases} \left(1-\dfrac{\alpha\pi}{4}\right)p-\dfrac{\alpha}{2}q=0,\\[1ex] -\dfrac{\alpha}{2}p+\left(1-\dfrac{\alpha\pi}{4}\right)q=0 \end{cases}

$$

である。

$(p,q)\neq(0,0)$ であるから，この連立一次方程式が非自明解をもつための条件として行列式が $0$ でなければならない。よって

$$ \left(1-\frac{\alpha\pi}{4}\right)^2-\left(\frac{\alpha}{2}\right)^2=0

$$

すなわち

$$ 1-\frac{\alpha\pi}{4}=\pm \frac{\alpha}{2}

$$

となる。

**(i)**

$1-\dfrac{\alpha\pi}{4}=\dfrac{\alpha}{2}$ のとき

$$ 1=\alpha\left(\frac{\pi}{4}+\frac12\right) =\alpha\frac{\pi+2}{4}

$$

より

$$ \alpha=\frac{4}{\pi+2}

$$

**(ii)**

$1-\dfrac{\alpha\pi}{4}=-\dfrac{\alpha}{2}$ のとき

$$ 1=\alpha\left(\frac{\pi}{4}-\frac12\right) =\alpha\frac{\pi-2}{4}

$$

より

$$ \alpha=\frac{4}{\pi-2}

$$

以上より求める $\alpha$ は

$$ \alpha=\frac{4}{\pi+2},\ \frac{4}{\pi-2}

$$

である。

解説

核 $\cos(t-x)$ は加法定理で $\cos x,\sin x$ に分離できる。このため積分作用素の像は 2 次元空間

$$ {,p\cos x+q\sin x,}

$$

に入る。したがって問題は無限次元の関数方程式ではなく，実質的には $2\times 2$ の固有値問題に落ちる。

この種の問題では，積分核を分離形に直すことが最重要である。

答え

$$ \alpha=\frac{4}{\pi+2},\ \frac{4}{\pi-2}

$$