解説

方針・初手

有理関数の不定積分であり、分母に $(x-1)^3(x-2)$ と一次因子の累乗が現れているので、部分分数分解を行うのが基本方針である。

したがって

$$ \begin{aligned} \frac{x^3}{(x-1)^3(x-2)} &= \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} + \frac{D}{(x-1)^3} \end{aligned} $$

とおいて係数を定める。

解法1

上式の両辺に $(x-1)^3(x-2)$ を掛けると、

$$ \begin{aligned} x^3 &= A(x-1)^3 + B(x-1)^2(x-2) + C(x-1)(x-2) + D(x-2) \end{aligned} $$

を得る。

まず、$x=2$ を代入すると

$$ 8=A

$$

である。

次に、$x=1$ を代入すると

$$ 1=-D

$$

より

$$ D=-1

$$

である。

さらに、$x^3$ の係数を比較すると

$$ A+B=1

$$

であるから、$A=8$ より

$$ B=-7

$$

となる。

また、$x^2$ の係数を比較すると

$$ -3A-4B+C=0

$$

であるから、

$$ -3\cdot 8-4(-7)+C=0

$$

すなわち

$$ -24+28+C=0

$$

より

$$ C=-4

$$

となる。

よって

$$ \begin{aligned} \frac{x^3}{(x-1)^3(x-2)} &= \frac{8}{x-2} -\frac{7}{x-1} -\frac{4}{(x-1)^2} -\frac{1}{(x-1)^3} \end{aligned} $$

である。

したがって、求める不定積分は

$$ \begin{aligned} \int \frac{x^3}{(x-1)^3(x-2)},dx &= \int \left( \frac{8}{x-2} -\frac{7}{x-1} -\frac{4}{(x-1)^2} -\frac{1}{(x-1)^3} \right),dx \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} \int \frac{x^3}{(x-1)^3(x-2)},dx &= 8\log|x-2| -7\log|x-1| +\frac{4}{x-1} +\frac{1}{2(x-1)^2} +C \end{aligned}

$$

となる。

解説

この問題の要点は、分母に $(x-1)^3$ のような重解があるとき、$\dfrac{1}{x-1},\dfrac{1}{(x-1)^2},\dfrac{1}{(x-1)^3}$ をすべて並べて部分分数分解することである。

また、$x=2,\ x=1$ を代入するとそれぞれ $A,\ D$ がすぐ決まるので、最初に特殊値を代入して未知数を減らすと計算が整理しやすい。残りは係数比較で処理するのが自然である。

答え

$$ \begin{aligned} \int \frac{x^3}{(x-1)^3(x-2)},dx &= 8\log|x-2| -7\log|x-1| +\frac{4}{x-1} +\frac{1}{2(x-1)^2} +C \end{aligned} $$