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数学3 積分法「定積分・面積」の問題45 解説

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数学3積分法定積分・面積問題45

解説

被積分関数に $x,dx$ と $x^2$ が同時に現れているので、$x^2$ を新しい文字に置くのが自然である。 $u=x^2$ とおけば $du=2x,dx$ となり、積分が基本形 $\int \sin u,du$ に直る。

$$ u=x^2

とおくと、

$$ du=2x,dx

より、

$$ x,dx=\frac12,du

である。したがって、求める積分は

$$ \int x\sin x^2,dx =\int \sin u\cdot \frac12,du =\frac12\int \sin u,du

となる。

ここで

$$ \int \sin u,du=-\cos u+C

であるから、

$$ \frac12\int \sin u,du =-\frac12\cos u+C

よって $u=x^2$ を戻して、

$$ \int x\sin x^2,dx =-\frac12\cos(x^2)+C

となる。

この問題は置換積分の基本例である。 $x^2$ の微分が $2x$ であり、被積分関数に $x,dx$ が含まれているので、$x^2$ をそのまま置換すれば一気に簡単になる。

無理に部分積分を考える必要はなく、まず「合成関数の内側」と「その微分に近い形」がそろっているかを見るのが重要である。

$$ \int x\sin x^2,dx=-\frac12\cos(x^2)+C