解説

方針・初手

分母に $e^x$ があるので、$e^{-x}$ をかけて形を整えると、分子がちょうど微分形になる。 すなわち

$$ \frac{1}{e^x+1}=\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}

$$

と変形して、そのまま対数の形に持ち込むのが最も自然である。

解法1

与えられた不定積分は

$$ \int \frac{1}{e^x+1},dx

$$

である。

ここで分子・分母に $e^{-x}$ をかけると、

$$ \begin{aligned} \int \frac{1}{e^x+1},dx &= \int \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}},dx \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ u=1+e^{-x}

$$

とおくと、

$$ du=-e^{-x},dx

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}},dx &= -\int \frac{1}{u},du \\ -\log|u|+C \end{aligned} $$

となる。$u=1+e^{-x}>0$ なので絶対値は外してよく、

$$ -\log(1+e^{-x})+C

$$

を得る。

したがって、

$$ \begin{aligned} \int \frac{1}{e^x+1},dx &= -\log(1+e^{-x})+C \end{aligned} $$

である。

なお、

$$ \begin{aligned} -\log(1+e^{-x}) &= -\log\left(\frac{e^x+1}{e^x}\right) \\ -\log(e^x+1)+x \end{aligned} $$

より、

$$ x-\log(e^x+1)+C

$$

と表しても同じである。

解説

この問題では、$e^x$ をそのまま $t=e^x$ と置換しても解けるが、$e^{-x}$ をかけて

$$ \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}

$$

の形にするほうが、分母の微分が分子に現れるので一手で済む。

指数関数を含む分数式では、分母の微分形を作れないかを見るのが典型である。

答え

$$ \begin{aligned} \int \frac{1}{e^x+1},dx &= -\log(1+e^{-x})+C \end{aligned} $$

または同値な形として

$$ \begin{aligned} \int \frac{1}{e^x+1},dx &= x-\log(e^x+1)+C \end{aligned} $$

である。